8. حلول التدريبات 7. حلول التمارين والمسائل 3. حلول المراجعة 0. حلول االختبار الذاتي

Transcript

1 . حلول التدريبات نخة الطالب.... حلول التمارين والمائل. حلول المراجعة. حلول االختبار الذاتي 1 ائلة الوزارة حب الدر لالتفار ت )411( اكاديمية نوبل...مركز الخوارزمي - البوابة الشمالية لجامعة اليرموك لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات وعلى نف الموقع باالضافة

2 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات التفير الهندي للمشتقة ميل المما ق)( عنقطة التما معادلة المما ص- ص م ( ) في الرم أ ب ج أ ص ص ص ميل القاطع عندما تتحرك النقطة ب Δ تقل وباقتراب Δ من الصفر ا ب يصبح مما للمنحنى في أ في هذه الحالة ميل القاطع ميل المما عند النقطة.أ )نقطة التما( ص ص ص م نها نها 4 ق ( ع ) ق ( ) نها ع ع - ق) + Δ ) - ق) ) نها Δ 4 ق) + ه ) - ق) ه ) نها ه 4 ه أ ج م أ ب م - : أ ب مما أ ج العمودي ومنها معادلة العمودي - ص- ص ( ) م : ق ( ) م الميل عنقطة التما 2 في حال وجودها فإنها تمثل المشتقة األولى ق)( النتيجة لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات

3 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مالحظة انتبه انتبه انتبه اقرأ المالحظة بشكل جيد في اي ؤال يوجد فيه كلمة عند هذه تعني ان النقطة هي نقطة تما وهنا يكون ميل المما ق) ) اما اذا كان في الؤال كلمة المما يمر او من نقطة مثل ( ص ) هذه تعني انها ليت نقطة تما فالذلك نجقطة التما وذلك بفرض نقطة تما ولتكن ( ص (ثم نطبيق ص ص ق ( ) فنجد قيمة ثم نجد االحداثي الصادي ثم نجد ميل المما بتطبيق ق) ) م كلمة العمودي يمر او من نقطة مثل ( ص ) هذه تعني انها ليت نقطة تما فلذلك نجقطة التما وذلك بفرض نقطة تما ولتكن ( ص (ثم نطبيق ص ص ق ( ) - فنجد قيمة 1. المما أفقي ق ( ) صفر 9. العمودي موازي لمحور الصادات فان المما موازي لمحور الينات أي المما افقي 4. االقترانيين متقاطعين ق) ( ه ( (. االقتران ق يم ه أ( ق)( ه)( ب( ق) ) ه ) ). إذا كان ق) ) يم محور الينات عند أ فان ق) أ ) صفر) يعني جذر( *** مثال ( :) اكتب معادلة المما والعمودي لمنحنى االقتران عندما ق ( ( الحظ نقطة التما معروف منها فقط االحداثي اليني نجد االحداثي الصادي وذلك بتعويض قيمة ب ق) ) لنجقطة التما عندما ص - ميل المما ق ( ) ق) ) 6 ق) ) 6 - م معادلة المما ص- ص م ( - ) ص + ) - ) - - ميل العمودي ق) ( معادلة العمودي - ص- ص ( م - ص+ ( ). ميل المما عنقطة هي المشتقة األولى عند تلك النقطة. م ظا ه التي يعينها المما مع محور الينات الموجب. معادلة المما ص- ص م ( - ). معادلة العمودي - ص- ص ( ) م 5. المتقيمان متوازيان م م.6 المتقيمان متعامدان م م -. المما يوازي محور الينات ق ( ) صفر لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات ) - مالحظات مهمة - يا بني - كلمات لها معنى -

4 ص(: 5 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات *** مثال ( :) مثال ( :) إذا كانت ص 5 هي معادلة العمودي على المما لمنحنى ق عند النقطة ( ) الواقعة على منحنى ق فجد ص نها عندما 4 ص نها ق) ) 4 م م - ص ق) ) - ق - ) ( - ق) ) ميل المما *** مثال ( اذا كان المما لمنحنى االقتران ق)( + عندما زاوية قياها 5 5 يصنع مع محور الينات الموجب فجد احداثيات نقطة التما ق ( ( ظا ه عنقطة التما + 5 ظا ومنها ص ق) - ) 6-4 اذن نقطة التما هي ( - 6- ) جد النقط التي يكون عندها المما لمنحنى االقتران ق)( ه ( ( + الحل يعامد المتقيم 5 + : م م - ق ه) ) ( ) - ( - ) - 1 ومنها النقطة االولى ( ق) (( ومنها النقطة االولى ( ق) (( - مثال ( 5 :) جد جميع النقط الواقعة على منحنى االقتران التي يكون المما عندها ق) ( موازيا لمحور الينات موازيا لمحور الينات يعني ان له مما افقي ق) ) صفر عنقطة التما ق ( ( اذن او 6 6 ) 4 ) ومنها ومنها ص ق) 4 ( 4 ومنها ص ق) ) النقاط هي ( 4 ) 4 ( - ) لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 4

5 ص(: بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات 9 مثال ( 6 (: مهم جدا ص 5 جد النقط التي يكون عندها المما لمنحنى العالقة + 6 ص 5 موازي المتقيم 9 ص 1 المتقيم // المما م م نشتق المعادلة االولى لنجد ميل المما 1 + ص ص 4-1 ص ص نشتق المعادلة الثانية لنجد ميل المتقيم 9 ص ص بما ان المتقيم // المما ص 1 ومنها - ص (... ) وبالتعويض في المعادلة االصلية 6 ص + 6 ص 5 ص ± وبالتعويض في ( ) تكون ± مثال ( 51 بين ان لمنحنى ق) ( مماين مرومين من النقطة أ ( 4 / (الخارجة عنه نفرض نقطة تما ولتكن ( ص ) ص ص ( ( + عند النقطة التي يكون ميل المما عندها ياوي نجقطة التما ميل المما ق ( ) ق) ). ) ( + + ومنها ص معادلة المما ص- ص م ( - ) - ) ) ص - ص 4 / / 4 ( ) 4 ومنها 4 ص صفر ص ومنها م ق) ( اذن للمنحنى مماين عند النقطتين 4( ) 4 ومنها م ق) 4 ( 4 ص- 44 ) -4( ومنها ص 4 ) ( ومنها م ق) ( ص- ) مثال ( 1 :) جد معادلة المما لمنحنى االقتران ق)( او - ومنها ص ق)- ) - ( - - ) معادلة المما ص- ص م ( - ) + ) ) ص + ق لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 5

6 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 4 (: مهم جدا جدا جد معادلة المما والعمودي لمنحنى ص : < 4 والذي يمر بالنقطة) 4 ( ( 4 ) ليت نقطة تما ) ص مثال ( 9 (: مهم جدا جدا اوجد ماحة المثلث الذي يتكون من المما والعمودي لمنحنى االقتران ق) ( عند النقطة ( ) مع محور الينات. ق ( ( م عنقطة التما) ( ق ( ) م ق 2 4 ) 2 ( 1 ماحة القاعدة االرتفاع 2 نجد القاعدة نجد معادلة المما لنجقطة تقاطعها مع محور الينات ص- ص م ( - ) ) - معادلة المما ) ص - ص 4 ومنها نجد معادلة العمودي لنجقطة تقاطعها مع محور الينات نفرض نقطة تما ولتكن ( ص - ق ( ) 4 ) ) ) - ( ص () - ( () ) - - صفر ) ) صفر ومنها صفر مرفوظة او ص اذن نقطة التما ( ) - - ميل المما ) ( معادلة المما ص- ص م ( - ) ص ) ) معادلة العمودي - ص- ص ( ) م ص 4.5 ) ) ) معادلة العمودي - ص- ص ( م - ص - ( ) ص 4 ومنها 1 طول القاعدة 1 االرتفاع ص 1 ماحة لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 6

7 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات + مثال ( جقاط تعامد منحنى االقترانين ق)( ه )( + مثال ( اوجد ماحة المثلث المحصور بين محوري اإلحداثيات ومما المنحنى ص : > 4 عند النقطة ( 4)4.5 ق ( ( م عنقطة التما) 4.5 ( - ق ( ) 2 - م ق ( 2 ) 4 نجد القاعدة نجد معادلة المما لنجقطة تقاطعها مع محور الينات ص- ص م ( - ) ومحور الصادات معادلة المما - ص - ( - ( ص 4 ومنها 4 ومنها ص طول القاعدة االرتفاع ص 1 ماحة القاعدة االرتفاع 2 1 ماحة مثال ( من النقطة م ( ) رم مماان لمنحنى االقتران فماه في النقطتين ك ه جد ص ماحة المثلث م ك ه 4 نفرض نقطة تما ( ص ) م ( ) ص ص ق ( ( ص + 4 ) ) 4 معادلة المما 1 ص- ص م ( - ) م 4 4 ومنها ص 4 ص 4 ) 4 ) ص عندما ص 4 نقطة تقاطعه مع محور الينات هي ( 4 ) 4 معادلة المما 1 ص- ص م ( - ) ومنها ص 4 م - ص 4 - ) ) عندما ص 4 نقطة تقاطعه مع محور الينات هي ( ) 4 االرتفاع هو ص القاعدة ماحة لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات

8 ص ص ص() ص) بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( :) جد معادلة المما والعمودي لمنحنى +.5 ص ص : الحل عند - مثال ( 5 اوجد معادلة المما الذي يمر بالنقطة ( ويكون عموديا على منحنى ص ) 4.5 نفرض نقطة تما ( ص ) عمودي م م - ص ومنها عندما ومنها ) (نقطة تما اذن ميل المتقيم هو م معادلة المتقيم العمودي على المما ص ) ) مثال ( 6 جد معادلة المما والعمودي على المما لمنحنى االقتران ق) ( + > 4 عند عندما - فان ص )- 4 ومنها ص - او ص اليجاد الميل +.5 ص + ص.5 ص ص الميل االول عند ( - - ) - - ص ص 1 ص م معادلة المما ص + ) + ) معادلة العمودي ص ) + ) الميل الثاني عند ( - ) تمرين للطالب - نجقطة التما عند ص 1 ق) ( + ق) ).5 معادلة المما ص 1.5 ) ) معادلة العمودي ص 1 /- ) ) - تمرين للطالب ص 56 اوجد معادلة المما المروم لمنحنى االقتران ق) ( + جا عند النقطة ( ) -- لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات

9 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( اذا كان منحنى ق) ( أ + ب + ج يقطع محور الصادات في النقطة ( 4 ) وله مماان المما االول عنقطة - ويصنع زواية 5 5 مع االتجاه الموجب لمحور الينات والمما الثاني عند النقطة ويصنع زاوية مقدارها 5 مع االتجاه الموجب لمحور الينات جد قيم أ ب ج ق)( + 5 فما قيمة الثابت أ التي أ تجعل المما لمنحنى ق)( عندما عموديا على المتقيم ص النقطة ( 4 ) تحقق ق) ) 4 أ )4( ب+ )4( + ج ومنها ج له مما عند - ويصنع زاوية قياها 5 ق) - ) ظا 5 أ + ب ومنها أ + ب )(... له مما عند ويصنع زاوية قياها 5 ق) ) ظا 5 أ + ب ومنها أ + ب - )(... من ( ) ( ) - 6 أ ومنها أ - / وبالتعويض في ( ) ب / + / + ق) ) -/ -- مثال ( 1 :) ميل االول ق) ) أ ميل الثاني ص+ 4 ومنها ص -.5 م م - ( أ ) (.5- ) - - أ ومنها أ / -- مثال ( 9 إذا كان المما لمنحنى االقتران ق) ) مماا أفقيا عند النقطة ( ) اوجد معادلة المما والعمودي على المما عند تلك النقطة لالقتران مما افقي ق) ) صفر م ص ص ص- 4 م ( ) ومنها ص - ص ص ( م ومنها معادلة العمودي المما ) العمودي مثال ( 4 :) إذا كانت زاوية ميل المما لالقتران - - ق)( + هي / اوجد احداثيات التما ق) ) + ق ( ) ظا ) 4 1 () + ) 4 ( ق) (( ومنها ( - ق)- (( - او لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 9

10 م م م م ) ق ق ق ق بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( اذا كان ق ( ( 11 موازيا للوتر الواصل بين النقطتين ( ق) ) ( أ ق) أ المما موازي للوتر وكان المما عند )) : أ > جد قيمة أ. ق) أ ) ق ( ) أ أ أ أ أ ( أ ) ( أ () أ + ) أ + ومنها أ مثال ( اوجد معادلة كل من المما والعمودي على المما لمنحنى العالقة ص 6 عند النقطة 5( )- ص ص 4 ص م عند النقطة )5 -( ص عند النقطة ( 5 - ) 5 م - معادلة المما ص- ص م ( - ) 5- ص + ( - )5 معادلة العمودي - ص - ص ( - ) م - ص - ص ( - ) م ص + ( - ) مثال ( ) + وكان لمنحنيي إذا كان م)( ه)( ق ق)( ه )( مماا مشتركا أفقيا عند النقطة ( ) اوجد م 4)( م)( ه)(+ه)( بما ان )( لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات )( ( +) ق)( ه)( مماا مشتركا أفقيا عند النقطة ) ( اذن ق) ( ه )( ق) ( 4 ه )( 4 م) ( ه) (+ه) ( م) ( صفر+ +) ( )( )( )( صفر + م) ) ومنها )( -- مثال ( :) إذا كان المما لمنحنى ق)( أ + عندما ويصنع زاوية مقدارها / مع االتجاه الموجب لمحور الينات ما قيمة الثابت أ ق) ) أ لكن ق ( ) ظا 5 أ ومنها أ 4.5

11 ص ) ك ك أ بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 5 :) لدينا االقتران ق )( معرف على ح- }{ ك + ق) ) فإذا كان المما للمنحنى عند النقطة التي احداثيها اليني يوازي المتقيم الذي معادلته + 5 فاوجد قيمة ك ) -() ك(- ك + ( ق) ) ( ) صفر ص + كذلك - ص لكن ق) ( ص - ( 6()- ك -) 9( )+ ) ( - 6( ك -) 4( ) ك - مثال ( :) لدينا االقتران ق )( معرف على ح ق)( + أ + ب وكما يوضح الشكل المجاور والذي فيه يبين ان المنحنى يم محمور الينات عند النقطة اوجد أ ب يم محمور الينات ق) ( صفر + ق)( أ + أ صفر ومنها أ - كذلك ق) ) يمر بالنقطة ( ) 4 + ب صفر + 1 ب+ - 1 صفر ومنها ب مثال ( 1 :) في الشكل المجاور يبين منحنىص ق)( والمما لهذا المنحنى يقطع محور الينات في النقطة )- 4( ونقطة التما م) ( وعلى اعتبار ان االقتران ه)( ه ) ق. ق. )( اوجد ه) ( ) ( - ( ( ) ق+ )( ه )( ( ) ق+ )( ق ق) - ) ق ( ) لكن ق) ) - صفر - لكن ق) ) - ه )( + 6 ق) ( 4 ك + ومنها ك مثال ( 6 :) عند اوجد ميل المما للمنحنى + ص - النقطة ( ) م ص ومنها + ص ص ص 4 ومنها ص 4.5 م لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 11

12 د بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 9 من الشكل المجاور اوجد قيا الزاوية المحصورة بين المتقيم ص ص ه ومما االقتران ق) ) ه عند النقطة ( 4 ) 4 الزاوية الذي يصنعها المتقيم مع محور الينات هي ه ص ظا ه ومنها ه 5 الزاوية الذي يصنعها المما مع محور الينات هي ه ق ( ) ق ( 4 ) ظا ه الزاوية بين المما والمتقيم هي ه ومنها ه ومنها ه 64 ه مثال ( :) في الشكل المجاور المتقيم ل عموديا على المما لمنحنى االقتران ق) ) عند النقطة ) ص ) مما 64 ) ص ) فما قيمة ق ) ( ل ميل المما ق) - ) ميل العمودي ظا 64 - ميل المما ميل العمودي - - ق) - ) - ق) - ) -- مثال ( في الشكل المجاور يمثل منحنى المشتقة االولى لالقتران ق في الفترة -( ) 6 ما مجموعة 5 قيم التي يكون عندها لمنحنى ق) ) مماا افقيا ق) ) - يكون لمنحنى ق) ) مما افقي ق) ( 4 { - } 5 -- مثال ( :) إذا كان المما لمنحنى ق)( أ 9 يوازي المتقيم ه )( + عندما فان قيمة أ تاوي أ( ب( ج( 4.5 ) 4.5 ه ه مثال ( 4 :) في الشكل المجاور المتقيم ل مما لمنحنى االقتران ق) ) عند النقطة ( ) فما قيمة ق ) ) ق) ) ميل المما المار بالنقطتين )4 ( ) 4( ق) ) 4 ق ( ) 4 - ق) ) لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 12

13 ص ) بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات + والتي يكون مثال ( :) اوجد معادلة العمودي على المما لمنحنى االقتران 4 + ص 5 عند الذي معادلته + ص ص + ص + ص ص 4 ومنها ص- م - ( ) م ) ومنها ص النقطة ( 4) م ص + عند النقطة ) (4 + + ص + معادلة العمودي ص- ص ص -- مثال ( 5 :) اوجد معادلة العمودي على المما لمنحنى االقتران الذي معادلته ص عند النقطة ) (4 تمرين للطالب ص - -- مثال ( 6 :) - اذا كان ه ( ) ق) ) وكان - ه ( ) ق) ) 1 ق ( ) اكتب معادلة المما والعمودي على المما لمنحنى االقتران ه ( ) عند النقطة. ) يكمل الطالب نقطة التما ( ه ( ) ) معادلة المما ص ص م ( مثال ( ) جد جميع النقط الواقعة على منحنى االقتران + 5 ق) ( ص 5 المما لمنحنى ق) ) عندها يعامد المتقيم صفر ق) ( كذلك + ص 5 4 بما انهما متعامدان م م )5 - ( ومنها ق) ) 4 ( 4 ) او ومنها ق) ) ( ) -- مثال ( 1 :) اذا كان المتقيم ص مماا لمنحنى االقتران ق عند النقطة ( ) 5 فان ق) + ه ) 5 نها ه 4 ه ق) + ه ) 5 نها ق ( ) ه 4 ه ويمكن حلها ( + ه ) - 5 نها ه 4 ه + 6 ه - 6 نها ه 4 ه لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 1

14 ص(: ص بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 9 جد جميع النقط الواقعة على منحنى العالقة + ص 4 صفر التي يمر المما المروم لمنحنى العالقة عند كل منها بالنقطة ( ) 4. نفرض ان نقطة التما هي ( ص ) ص ص م ص + ص ص 4 ص ص لكن م ص ص 4 ص 6 + لكن 6 ص ومنها ص ومنها ص ± -- مثال ( 4 :) اثبت ان المما لمنحنى االقتران ق) ( عند النقطة ( أ أ ) يقطع محور الينات في النقطة أ ( 4 ) م ق) أ ) ومنها ق) ) م أ ص- أ أ ( - أ ) أ عندما أ ص- أ أ ( - أ ) ومنها ص 4 مثال ( :) اذا كان المتقيم ص ج صفر يم منحنى االقتران - ق) ) ( + ) عند النقطة ( ص ) الواقعة على منحناه اوجد. احداثيي نقطة التما ( ص ). قيمة الثابت ج ميل المتقيم ص ص 4 ومنها ص م المتقيم - -( )() ( + ) ميل المما ق) ) ( + ) ميل المتقيم ميل المما 6 ( + ) ) + ) ومنها - لكن ص ق) ) - ( ) ج ) + ( مثال ( اذا كان المتقيم 1 + ج صفر يم منحنى االقتران 1 ق)( - فجد قيمة الثابت ج تمرين للطالب -- مثال ( **56 عين الثابت م في االقتران ق)( م اذا كان قيا زاوية ميل المما لمنحنى ق عند هي 5 ق) ) م 5 م ظا 5 ومنها م 4.5 لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 14

15 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات + 4 مثال ( :) اوجد معادلة المما المروم من النقطة ق) ) لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات ( - 5 ) 4 لمحنى االقتران ) 4 5 ( - ليت نقطة تما ولذلك نفرض نقطة تما ولتكن ( ص ) ص ص ) ) ق ص ومنها ص ± م ق ( ) 6 ص 6 ( ) 6 - ص 6 ( ) 6 ص + 6 ( ) 6 - ص + 6 ( ) 6 5 مثال ( :) بين لمنحنى االقتران ق )( جا مماا اافقيا في الفترة [ 4 ] ومنها جتا 4 م ق)( 1 جتا / / 1 جتا 4 / ومنها / اذن لمنحنى ق مماان افقيان يحدثان عند / / مثال ( 5 :) اذا كان ص قا فبين منحنى ق عند 4 مماا يوازي محور الينات مما يوازي محور الينات عند 4 قا 4 ظا 4 صفر ق) ) 4 4 ص قا ظا -- مثال ( 6 :) اكتب معادلة المما والعمودي على المما في نقطة التما لمنحنى ق)( ظا عندما ق)( قا م ق ( ) تكون ص ) عندما ص ص ) ) معادلة مما ) معادلة مما /-

16 ( () () بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( :) اوجد معادلة المما والعمودي لمنحنى العالقة + ص 5 م ص عند النقطة ( ) + 1 عند النقطة ( ) + ص ص + ص 5 عند النقطة ( ) ص + 5 ومنها ص م معادلة المما ص ص م ( ) 4 - ص - ( - ) ص - ( - ) 4 -- مثال ( 1 :) اذا كان ميل المما لمنحنى عند النقطة ( ) 4 ياوي فما قيمة ق) ( ) 4 نقطة تما ميل المما ق) مثال ( 54 :) اوجد معادلة المما المروم لمنحنى العالقة جا ص ص جتا عند النقطة )/ / ( تمرين للطالب -- مثال ( 5 :) اوجد معادلة المما والعمودي لمنحنى االقتران ق) ( ظتا عندما / ق) ) ( - قتا + ظتا ( ق) / قتا - ( )/ +/ ظتا )/ + / م لكن عندما / فان ص / معادلة المما ص- )/ - / +( / معادلة العمودي ص- )/ - / +(/- / -- مثال ( 5 :) عين قيم أ ب ج في االقترانين ق) ( أ + ب + ج ه ( ) ج بحيث يكون لكل من منحنيي االقترانين مما مشترك عند النقطة ( ) 4 الواقعة على منحنيها تمرين للطالب -- مثال ( 5 :) جد ميل المما لمنحنى ق) ) ( ) ( (عنقطة تقاطع منحنى ق مع محور الينات تمرين للطالب ) -- مثال ( 9 :) اوجد معادلة المما والعمودي للمنحنى الذي يربط مع ص ن + ن ص ن + ن + عندما ن تمرين للطالب -- لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 16

17 ل) ل) ب بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 5 :) اذا كانت ق) ع ) ق ( ) نها - ع ع - فجد قيا زاوية ميل المما لمنحنى ق عند النقطة ) ق) (( ق ( ) ظا ه لكن ق) ع ) ق ( ) نها ق ( ) ع ع - اذن ق ( ) ظا ه - ومنها ه 5 -- مثال ( 55 (: مهم جدا ** اذا كان ل)( + 1 ق) ) : ه ( ) 4 ه ( ) وكان لمنحنى كل من ل ( ) ه ( ) مما افقي عند النقطة ( ) فما قيمة ق) ) ه )()ل )(+ 1 ( )(+ 1 ( ه )( ق)( )ه ( (( ه ) ()ل )(+1( )(+1( ه )( ق) ( )ه ( )) لكن ه) ( ه )( 4 ل) ( ل) ( 4 )4( )1+( )1+4( ق) ( 6 )( -- مثال ( 56 :) رم مما لمنحنى ق) ( + ج من النقطة ( ب ) الواقعة على منحناه فقطع محور الينات في النقطة - جد قيم كل من ب ج ق ( ) ب + ج ب (... ) نجد معادلة المما ( ب ) نقطة تما ق) ) ق) ) م ص ب ) ) المما قطع محورالينات في - ومنها ص 4 ب- ( - ) ومنها ب + ج ومنها ج -- مثال ( 5 :) اثبت ان المما لمنحنى ق) ) عند النقطة ( أ ق) أ ) ) يقطع محور الينات عند أ / ق ( ) ( أ أ ) نقطة تما ومنها م ق) أ ) أ ص أ أ ( أ ) ومنها ص أ أ ليقطع محور الينات تكون ص 4 عندما أ / ص أ )أ / ) أ ومنها ص 4 اذن يقطع محور الينات عند أ / -- مثال ( 51 :) إذا كان لمنحنى االقتران ق)(مماا أفقيا عند النقطة ) ( فان معادلة العمودي على المما عند تلك النقطة هي : أ( ب( ص ج( ص 4 د( 4 -- مثال ( فان إذا كان ه)( ميل المما لمنحنى االقتران ه)( عند النقطة التي تكون فيها قيمة المشتقة الثانية ماوية للعدد ياوي أ( - ) 4 ج( د( 6 لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 1

18 أ ص(: ن ن ن بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات التفير الفيزيائي المافة الرعة الزمن ف الرعة المتوطة ن ف نها المشتقة االولى ن 4 ن وفي هذه الحالة تمى الرعة اللحظية ع) ن ) ف ( ن ) واذا كان ف ( ن ) قابال لالشتقاق في ن فان ف ( ن ) ع ( ن ) ت ( ن ) تارع الجيم في اللحظة ن المقذوفات 1 : ف المافة ع الرعة ن الزمن مالحظات ( اذا كان مقذوف من اعلى بناية نضيف للعالقة ارتفاع البنايةاذا كانت غير مضافة ( اذا كان المقذوف من عمق نطرح مقدار العمق اذا كانت غير مطروحة ( زمن الصعود / )الزمن الذي يتغرقه الجم حتى يعود الى طح االرض ) ( اقصى ارتفاع ف 5( زمن الصعود زمن الهبوط 6( الرعة نازل الب صاعد موجب ) هناك فرق بين الرعة اللحظية والرعة المتوطة كما هو وارد في بداية التعريف وكذلك التارع مثال 64( :). يتحرك جيم على خط متقيم بحيث أن بعده عن نقطة األصل يعطى وفق ف)ن( الجيم بعد ث ن لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات + 9 ما رعة ( 6 م/ث ب( 5 م/ث ج( م/ث د( م/ث مثال ( 6 :) يتحرك جيم حب العالقة التالية ف - + جد المافة عندما تكون رعة الجيم تاوي تارعه ت ع ومنها ع ف المافة عندما تكون رعة الجيم تاوي تارعه ن ومنها ن ع ت ف) ) )( +)(- م 6 مثال ( 6. قذف جم رأيا الى األعلى من طح األرض حب العالقة ف)ن(.5 ن.9 ن جد. الزمن الالزم بالثواني حتى يعود الجم الى طح االرض. الرعة التي قذف بها. اللحظة التي يكون عندها رعة الجم. م/ ث. تارع الجم في كل لحظة. ( حتى يعود الجم الى طح االرض ف) ن ) 4.5 ن.9 ن 4 ن).5.9 ن ) 4 ومنها ن 4 او ن 5 ) الرعة التي قذف بها تكون ن 4 ع) ) 4 ع) ن ) ن ع) ) 4.5 ) ن ع ن. ومنه ن ت( ع) ن ) م / ث

19 ن ص(: ن 6 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 6 :) + يتحرك جيم بحيث أن رعته ع)ن( جد التارع المتوط للجيم في الفترة الزمنية] [ 6 ورعته عندما تارعه م/ث 5. التارع المتوط على الفترة الزمنية ] [ 5 ع ( ) ع ( ) ع ن ع. 6 ن ومنها ن ت ع 5 ن + ع) ) 5 م / ث مثال ( 6 قذفت كرة رأيا الى أعلى من قمة برج ارتفاعه 64 قدما اذا كانت المافة المقطوعة تتعين حب العالقة ف)ن( - 6 ن + 1 ن + 64 : ف المافة باالقدام ن الزمن بالثواني اوجد. اقصى ارتفاع تصل اليه الكرة. رعة الكرة لحظة اصطدامها باالرض ع) ن ) 4 ) اقصى ارتفاع تصل اليه الكرة ع) ن ) - ن ن ومنها ن.5 ف) ).5 - ).5( ).5( ف) ن ) 4 ( لحظة اصطدامها باالرض - 6 ن + 1 ن ن - ن ومنها ن 5 ن 5 ) ( ن + ) 4 ع) ) 5 ف ( 5 ) ع) ن ) ف ( ن ) - ن + 1 ع ( ن ) ف ( ن ) - ن م / ث اقط ع ( 5 ) مثال ( 65 :) :ع الرعة يتحرك جيم حب العالقة ع ف- ف المافة احب التارع عندما تنعدم الرعة د ع د ف ال تنى ع ت د ف د ع ع - ف ع ت - ف ع ت ف- لكن عندما تنعدم الرعة ع) ن ) 4 4 ومنها ف ± اذن ت ± ف مثال ( 66 **6 يتحرك جيم حب العالقة ف) ن ( / ن : ف المافة المقطوعة باالقدام بع ثانية احب. رعة الجم عندما ن ث 5. التارع عندما تنعدم الرعة ع( ( ن ) ن ن ع) ) 5 5 ( 5 ) م/ث ( عندما تنعدم الرعة ع) ن ) 4 ن ن 4 ن) ن ) 4 ومنها ن 4 ن ت) ن ) ع ( ن ) ن ت) ) 4 م / ث ت) ) - م / ث مثال ( 6 :) يتحرك جيم حب العالقة ف جا 5 ن +جتا 5 ن اثبت ان ت + 5 ف 4 ت) ن ) ف ( ن ) ف ( ن ) 5 جتا 5 ن 5 جا 5 ن ف ( ن ) - 5 جا 5 ن 5 جتا 5 ن ت بالتعويض - 5 جا 5 ن 5 جتا 5 ن+ 5 )جا 5 ن +جتا 5 ن( - 5 جا 5 ن 5 جتا 5 ن+ 5 جا 5 ن+ 5 جتا 5 ن 4 - لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات

20 ن 6 ب ب بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 61 يتحرك جيم في خط متقيم طبقا للمعادلة ف) ن ( ن ن + ن + : ف المافة باالمتار ن الزمن بالثواني اثبت ان الجيم يتوقف مرة واحدة دون ان يغير من اتجاه حركنه يتوقف الجم عندما ع) ن ) 4 لكن ع) ن ) ف) ن ) ن ن 6 + ن ن ن ن + 4 ن) ) ( ن ) 4 ومنها ن بما ان الرعة حافظة على اشارتها اذن الجم ال يغير اتجاه حركته مثال ( 69 يتحرك جيم في خط متقيم طبقا للمعادلة ن + ن + 4 ف) ن ( : ف المافة باالمتار ن الزمن بالثواني جد الرعة والتارع عندما ف) ن ) 6 م عندما ف) ن ) 6 م ن + ن ن + ن 6 4 تحلل بلقمة التركيبية ( ن ) ( ن + 1 ) 4 ) ( - 9 ) ( ن ) 4 ومنها ن.5 الرعة ع) ن ) ن + ع) ) (6 ) ( ) + ع) ).5 (6.5 ).5( ) + التارع ت) ن ) ع) ن ) ن ت) ) ت).5 (.5 ن ن ن ن) ن ن مثال ( 4 يتحرك جيم في خط متقيم طبقا للمعادلة ف) ن ( ن ن + ن 9 + : ف المافة باالمتار ن الزمن بالثواني اوجد تارع الجيم عندما تكون رعته م / ث ع) ن ) ن ن + 9 عندما تكون رعته م / ث ن ن + 9 ن ن ( ن ()ن ) 4 ومنها ن / ت) ن ) ع) ن ( ن 6 ت) ) / 6 / - 4 م / ث ت) ) 6 4 م / ث - مثال ( :). قذف جم رأيا الى األعلى من طح األرض حب العالقة ف)ن( 6 ن - ن 1 ما الزمن الالزم بالثواني الذي يحتاجه الجم وهو صاعد حتى تبلغ رعته ثلث الرعة التي قذف بها أ( ).5 ج( 6 د( 1 مثال ( :) يتحرك جيم في خط متقيم طبقا للمعادلة ف) ن ( ن 6 ن- : ف المافة باالمتار ن الزمن بالثواني اوجد المافة التي يقطعها الجيم باالمتار حتى يصبح تارعه صفرا عندما ت) ن ) 4 ف) ن ) ن ن ف ( ن ) ت) ن ) ن 6 ن 6 4 ومنها ن ف) ) 6 ( ) ( ) 1 6 م - مثال (. يتحرك جيم على خط متقيم بحيث أن المافة فما المافة التي يقطعها الجيم ف)ن( ن 6 ن حتى يصبح تارعه صفر أ( ) 6 ج( د( لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 21

21 ن 5 ن) ص(: ن 5 ن 5 ع ع ع ع ع ب بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( يتحرك جيم على خط متقيم بحيث ان رعته ع ن بع ثانية بداللة ف هي ع ( ن ( ف) ن ) احب تارع الجم عندما ن ث علما بان رعته عندئذ تاوي 4.5 م / ث 4 ال تنى ت) ن ) ع) ن ) ع) ن ) ف ( ن ) لكن ع) ) 4.5 ومنها ف) ) 4.5/ 6 ع) ن ) ف ( ن ) ف+ ( ن ) ع ( ن ) ع) ن ) ع ( ن ) ف+ ( ن ) ت ( ن ) ع) ) ع ( ) ف+ ( ) ت ( ) ت+ ( ) ومنها ت) ) م / ث 1 مثال ( 5 **6 اقط جم من ارتفاع ( 44 ) م عن طح االرض : ف المافة باالمتار ن الزمن بالثواني حب العالقة ف ن) ( وفي نف الوقت اطلق جم من طح االرض لالعلى حيث المافة التي يقطعها جد رعة كل الجم هي ف ن) ) 54 ن ن 5 من الجمين عندما يكون لهما االرتفاع نفه عن طح االرض ف ن) ( ف ن) ) 54 ن ن 5 عندما يكون لهما االرتفاع نفه عن طح االرض ف ف ن ن 5 54 ن 44 ومنها ن ع ) 4 ن ومنها ع ( ) 4 م / ث ع ن) ) 54 4 ن ومنها ع ( ) 4 م / ث - مثال ( 6 اقط جم من ارتفاع ( 44 ) م عن طح االرض : ف المافة باالمتار ن الزمن بالثواني حب العالقة جد رعة الجم عندما يكون على ف) ن ( ن 5 ارتفاع )4( م عن طح االرض المافة 4 م عن طح االرض المافة م من القوط اذن 5 ن 14 ومنها ن ع ( ن ) ف ( ن ) 4 ن ع ( ) 4 4 م / ث مثال ( :) تتحرك نقطة ماديه في خط متقيم حب العالقة ب ع أ + : ع الرعة ف المافة ا ب ف ثوابت 4 اثبت ان التارع يتناب عكيا مع مربع المافة 4 ب ع أ + ف - ب ف ف - ب ع ف ب- ف اذن ت α ف مثال ( 1. قذف جم رأيا الى األعلى من طح األرض حب العالقة ف)ن( 1 ن - 6 ن ما الزمن الالزم بالثواني الذي يحتاجه الجم وهو صاعد حتى تبلغ رعته نصف الرعة التي قذف بها أ( ) ج( 6 د( 1 لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 21

22 ن 9 ن 5 ن 5 ن 5 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات 22 مثال ( 9 :) قذف جم عموديا لألعلى: المافة ف أ ن 6 ن فإذا كان أقصى ارتفاع وصله الجم 9 م جد قيمة أ أقصى ارتفاع يصل اليه الجم ع صفر ع ف أ ن ومنها أ ن 4 أ ومنها ن لكن ف 9 أ أ أ ( ) 6 ( ) 9 أ 6 أ 9 ( ) 6 أ 9 ( ) أ ± 56 مثال ( 14 :) قذف جم عموديا لألعلى: المافة ف أ ن - جد رعة الجم وهو على ارتفاع )64( م علما بان أقصى ارتفاع وصله الجم 14 م اقصى ارتفاع ع 4 ف أ 4 ن صفر ومنها أ 4 ن (... ) أقصى ارتفاع وصله الجم 14 م أ ن - 14 (... ) من ( ) ( ) ن 5 14 ومنها ن من ( )... أ 4 ومنها أ 4 اذن... ف 4 ن - عندما يكون ف 64 ن 5 4 ن بالقمة على 5 ن) () ن 6 ) 4 ومنها ن 6 ع ف 4 4 ن ع) ) 4 م/ ث ع) ) 6-4 م/ ث اقط مثال ( 1 :) اذا كان مربع الرعة عالقة خطية في المافة اثبت ان التارع يكون ثابتا 4 ع أ ف ب ومنها ع ع أ ف ع ت أ ع أ ومنها ت ثابت مثال ( 1 :) يتحرك جيم بحيث ان رعته ع بع ثانية بداللة ف هي ع 6 ف احب تارع الجم 4 ع 6 ف ف ع 6 ف ع ت ف 6 ف ت ومنها ت 1 م/ ث ف مثال ( 1 :) يتحرك جيم بحيث ان رعته ف هي ع أ ف : أ <4 وكان تارعه 1 م/ث جد قيمة أ. ع أ ف ف ع أ ف ع ت أ ف ت 1 أ أ أ ف ف ومنها أ لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات - مرفوضه

23 ع بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات المعدالت المرتبطة بالزمن افرض ان ص ع اقترانات في الزمن اجتمعت هذه االقترانات على بيل المثال في العالقة التالية + 2 ص 5 اشتق بالنبة للزمن ع 9 د د ص د ع + 4 ص - 9 ع 4 د د ص د ع هي مشتقات ص ع بالنبة للزمن وهي معدالت تغير ص ع بالنبة للزمن هذه المعدالت ارتبطت مع بعضها تمى معدالت مرتبطة )المعدالت مرتبطة هي مشتقات بالنبة للزمن ) لحل أي ؤال اتبع ما يلي افهم الؤال جيدا ارم الؤال حدد المتغيرات والثوابت)الثوابت نضع عليها قيمتها ) كون عالقة بين المعطيات والمطلوب مالحظة اشتق بالنبة للزمن ثم عوض تجد المطلوب تقترب او تنقص - تبعد او تزداد + ال يجوز التعويض لقيمة متغيرة في لحضة معينة اال بعد االشتقاق. يلزم لحل هذا النوع من االئلة االلمام ماحة المثلث ببعض القوانين المهمة / القاعدة االرتفاع. / حاصل ضرب ضلعين جا ه ماحة المربع مربع الضلع. ماحة المتطيل الطول العرض. ماحة متوازي االضالع لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات القاعدة.5 ماحة شبه المنحرف االرتفاع / مجموع الضلعين المتوازيين البعد العمودي بينهما.6 ماحة الدائرة نق. محيط الدائرة نق.1 حجم المكعب مكعب الضلع.9 حجم متوازي المتطيالت الطول العرض االرتفاع 4. حجم المنشور)الموشور( ماحة القاعدة االرتفاع. حجم الهرم / ماحة القاعدة االرتفاع. حجم الكرة / نق. ماحة طح الكرة نق. حجم االطوانة نق ع 5. الماحة الجانبية لالطوانة نق (.6 الماحة الكلية لالطوانة ) نق ) + ( نق. حجم المخروط الدائري القائم / نق ع ع

24 ع بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات.1 الماحة الجانبية للمخروط ع+ نق نق.9 حجم المخروط الدائري القائم الناقص المتوازي القاعدتين قن) ع / + نق + نق ) قن.4 )الوتر نظرية فيثاغور ) )الضلع ) + ( الضلع ). قانون جيب التمام ( ب ) + ( ج ( ا ). ) ب ج جتا أ أ المقابل للزاوية أ ب المقابل للزاوية ب ج المقابل للزاوية ج المافة بين نقطتين ف ( + ( ص ) ص ). طول القو نق ه : ه مركزية. قطر متوازي االضالع )القطر( ( الطول ) + ( العرض( + ( االرتفاع ).5 تشابه المثلثات مثال ( 1 :) يزداد طول كل ضلع من أضالع مثلث متاوي االضالع بمعدل 4. م / د جد المعدل الذي تزداد به ماحته عندما يكون طول ضلعه 4 م جا 64 م / 64 د د د م 4. عوض مثال ( 15 :) بدأت فينتان بالحركة معا من مكان واحد فاتجهت االولى نحو الشمال برعة 5 ميل / اعة والثانية نحو الشرق برعة 4 ميل / اعة جد معدل ابتعادهما بعد اعتين من بدء الحركة ص ع ع ص+ د ص د د ع 4 5 عندما ن فان 4 4 ص 5 4 ع 4( ) + ( 4 ) 54 د ص د د ع + ص د ع د ع -- لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 24

25 ع ف ع بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 16 :) أ ب ميناءان البعد بينهما 4 ميل ويقع أ شرق ب اذا اقلعت فينة من أ قاصدة ب برعة 4 ميل / اعة وفي نف الوقت أقلعت فينة اخرى من ب برعة.5 ميل / اعة متجه جنوبا جد معدل اقترابهما او ابتعادهما بعد اعتين من بدء الحركة ص ص+ ع د ع د د ص 4.5 عندما ن فان 4 4 ص.5 5 ع 4( ) + ( 5 ) 5 د ع د د ص + ص د ع د ع مثال ( 1 :) بالون على ارتفاع 44 قدم عن طح االرض بدأ باالرتفاع الى االعلى برعة 4 قدم / ث وفي نف الوقت مرت يارة من تحته برعة 54 قدم / ث جد معدل تغير المافة بين اليارة والبالون بعد ث من بدء الحركة + ( 44 ص+ ) ع د ع د د ص 54 4 عندما ن فان ص 4 4 ع 54( ) + ( 4 ) 4 د ص د د ع + 44( ص+ ) د ع مثال ( صيفي يرتفع بالون رايا لالعلى برعة ثابته ويتم رصده من مشاهد على االرض يبعد 64 م عن المقط الراي للبالون على االرض اذا كانت ه هي زاوية ارتفاع نظر المشاهد للبالون وكان معدل تغير ه ياوي 4/ راديان /د في اللحظة التي كان فيها ارتفاع البالون عن طح االرض 44 م فجد رعة البالون مثال ( 19 :) طار طير باتجاه االفق يصنع 64 مع االفق وبعد ان قطع مافة مقدارها 9 م اتجه افقيا برعة م / ث جد معدل ابتعاده عن نقطة انطالقه بعد ث بعد طيرانه االفقي جتا ف )9( ف د د ف 9 م ف عندما ن فان 6 4 ف د د د ف + 9 د ف لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 25

26 ص+ ف بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 94 :) قضيب طوله 4 م ترك بحيث يبقى طرفاه أ ب على محوري الينات والصادات على الترتيب واذا كانت أ تتحرك مبتعدة عن نقطة االصل بمعدل م / ث جد معدل تغير ماحة المثلث المكون من القضيب عندما 1 م ب ص 4 م م / ص أ د ص د د م د د ص د م + ص / / 44 لكن ص+ 44 ومنها ص 6 ( 1 ) ص+ د ص د 4 + ص د ص د ص 6/- د د ص د م + ص / / - 6- د م ) 1 ( مثال ( 9 :) ربط جم بطرف حبل طوله 54 قدم ويمر على بكرة ملاء ترتفع عن طح االرض 4 قدم كما ربط الطرف االخر للحبل بيارة عنقطة ترتفع بمقدار قدمين عن طح االرض فاذا تحركت اليارة بمعدل 9 قدم / ث جد معدل ارتفاع الجم عن طح األرض عندما يكون هذا االرتفاع 6 قدم ع ) ص- 1(-54 1 قدم ص د د ص قدم 9 + ( ص+ ع( ( ص+ ) لكن ص+ ع 1 )1( + ( ص+ ) عندما ص فان 1 د د ص ) ص+ ( د ص 9 ) ( ) + 1( مثال ( 9 :) يمك معتصم بيده خيط طائرة ورقية تطير أفقيا على ارتفاع 4 م من طح األرض إذا كانت الرعة التي يحب معتصم فيها خيط الطائرة م / د فجد الرعة األفقية للطائرة عندما يكون طول الخيط الممتد إليها 54 م د ف د 4 م عندما ف 54 فان 4 )4( + ف يعني - مالحظة : يحب د د ف د د -5 م/ث 54-4 ومنها لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 26

27 م بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 9 :) خزان ماء اطواني الشكل قطر قاعدته 4 م يخرج منه الماء بمعدل م / د جد رعة انخفاض الماء في الخزان د ع د ح - ح نق ع ح 5 ع ع د ع د ح 5 5 د ع دع 5 مثال ( 9 :) اطوانة دائرية قائمة مصنوعة من المعدن ارتفاعها 6/ طول قطر قاعدتها دائما فإذا كان ارتفاعها يزداد بمعدل 4.4 م / ث فجد معدل التغير في حجم هذه االطوانة عندما يكون طول نصف قطر قاعدتها 6 م مثال ( 95 :) متطيل ماحته 54 م إذا ازداد طوال ضلعين متوازيين فيه بمعدل م / ث وتتناقص طوال الضلعين اآلخرين بحيث تظل ماحته ثابتة فجد بعدي المتطيل في اللحظة التي يتوقف فيها محيط المتطيل عن التناقص د د ل صغر ص م 54 م ص د ل صغر لكن م ص + ص ل ص + ل ص 54 / د 44 د د ل صفر ومنها 54 ومنها ص 44 لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 2

28 ص(: ع+ ل ع+ ل بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات 69 مثال ( 96 اتخدم معلم الكيمياء في إحدى تجاربه قمعا على شكل مخروط قطر قاعدته م وارتفاعه م وقاعدته أفقية ورأه إلى أفل إذا صب ائل فيه بمعدل م ث/ وفي اللحظة نفها يخرج منه الائل بمعدل م ث/ فجد رعة ارتفاع طح الائل في القمع عندما يكون عمق الائل فيه 6 م دخ د ص د ح د ع ع 6 ح / ماحة القاعدة االرتفاع / نق ع 6 لكن من تشابه المثلثات 6 نق نق ع ع ع نق ع ع اذن ح ح ع 6 د ع د ح ع 1 د ع 9 ( 6 ) 1 د ع 9 د ع /9 2 مالحظة : يمكن ان يكون المطلوب اوجد معدل التغير في نصف قطر الماء نق ع/ او اوجد معدل التغير في ماحة طح الماء م نق مثال )9(: يتمدد أضالع مثلث متاوي األضالع بمعدل م/د رمت دائرة داخل المثلث تم األضالع تتمدد مع المثلث جد معدل تمدد ماحة المنطقة المحصورة بين المثلث والدائرة عندما يكون طول ضلع المثلث 1 م د د م 4 نق / / م م - م نق / جا - 64 نق ظا 4 / - نق د م د د د م 1-6 مثال ( 91 مثلث متاوي الاقين طول قاعدته ثابت ياوي ل إذا م / د جد كان طول كل من اقيه يتناقص بمعدل معدل تناقص ماحة المثلث عند اللحظة التي يكون فيها طول كل من الاقين ماويا لطول القاعدة د د م - ع م / ل ع ل د ع د م / ل ل / لكن ) لكن )/ د ع د ع د ع ع ل - لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات

29 ص(: بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات 4 مثال ( 99 يتاقط الرمل بمعدل قدم / د ليصنع كومة على شكل مخروط نصف قطر قاعدته ياوي ضعفي ارتفاعه دائما جد معدل تغير االرتفاع في اللحظة التي يكون فيها االرتفاع 4 قدم د ح نف ع ع د ع نق ع 4 ح / ماحة القاعدة االرتفاع / نق ع ( ع ) ع اذن ح ح ع د ع د ح ع د ع ( 4 ) مثال ( 44 :) متوازي متطيالت ارتفاعه مثلي طوله وعرضه / ارتفاعه اوجد معدل تغبر حجمه بالنبة إلى تغير ارتفاعه عندما يكون ارتفاعه م ع د ح ص د ع ع ح الطول العرض االرتفاع ص ع ع اذن ح ع ع ح ع 6 د ح ع د ح )( 1 مثال ( 4 :) قرص دائري يتمدد بالحرارة فتزداد ماحته بمقدار 1 م /ث جد معدل التغير في نصف قطر القرص عندما يصبح نصف قطره م د م ق 1 نق نق م نق ق د م نق 1 ق لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 29

30 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات ص م / ومنها متاوي الاقين ه ص ص ه ظا ه د ص د - ص د ه قا ه د ه 6 مثال ( 4 :) خزان ماء على شكل اطوانة يخرج الماء بمعدل 4.44 م / د جد رعة انخفاض متوى طح الماء في الخزان د ح د ع م / د ح نق ع د ع د ح نق ع - د ع 444 نق مثال ( 4 (: من الكتاب ص في مثلث قائم الزاوية إذا كان طوال الضلعين المقابل والمجاور للزاوية الحادة في ه في اللحظة ن هما ص على التوالي وإذا كان معدل تزايد هو م/ث ومعدل تناقص ص / م / ث فجد رعة تغير الزاوية ه في اللحظة التي يتاوى فيها الضلعان ص م د د ص د ه /- مثال ( 4 :) رجل طوله 14 م يقف أمام مصباح كهربائي يرتفع عن طح األرض بمقدار 54 م إذا اخذ الرجل باالبتعاد من المصباح بمعدل م / د فاحب معدل ازدياد طول ظله أ د ص د - 44 م/ث د ص ه ب ج أ ب ج د ه ج متشابهان ج ب أ ب ه ج د ه + ص 54 ص ص ص د ص د د ص د ص د ص د ص -- تدريب انطلق صاروخ رأيا الى اعلى حيث تم رصده بواطة رادار على طح االرض يبعد كم عن قاعدة الصاروخ فاذا كانت رعة الصاروخ 54 م في/ ث فجد معدل التغير في زاوية ارتفاع الصاروخ لكي يبقى ضاهر على شاشة الرادار وهو على ارتفاع 44 م عن طح االرض. لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 1

31 ن 5 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات أ ب ج د ه ج متشابهان..1 ص 4 - ص 5 د د ص عندما يكون الرجل على بعد (.5( م عن الحائط تكون 1.5 مثال ( 45 :) يرتكز لم طوله ل م بأحد طرفيه على ارض أفقية وبطرفه األخر على حائط راي إذا انزلق الطرف المالم لألرض مبتعدا عن الحائط بمعدل 5/ م/ث فاحب معدل هبوط الطرف المرتكز على الحائط عندما يكون اللم مائال بزاوية 64 د د ص ل ص 5 ه عندما ه 64 (... ) ص+ ل د ص د 4 + ص لكن جتا ه ل ل جتا 64 ومنها ل ص / ل من ( ) د ص ل + ل 4 5 أ مثال ( 46 يقع مصباح كهربائي على بعد.1 ص ( 4 ) أمتار من حائط راي وعلى ارتفاع ( 5 ) أمتار عن 4 م طح ممر أفقي يعا مد الحائط ار رجل طوله (.1 ) م على هذا الممر برعة 4.5 م/ ث مبتعدا عن المصباح جد رعة تحرك ظل رأ الرجل على الحائط عندما يكون الرجل على بعد (.5( م عن الحائط د د ص م/ث عندما.5 د ص )1.5( مثال ( 4 :) يقع مصباح كهربائي في قمة عمود ارتفاعه 4 م قذفت كرة رايا إلى أعلى من نقطة على األرض تبعد 4 م عن قاعدة العمود بحيث أن ارتفاع الكرة تعطى في اوجد رعة ظل الكرة العالقة التالية ف 4 ن على األرض في اللحظة التي تكون الكرة فيها قد قطعت مافة 5 م وهي صاعدة لألعلى كرة د 4 4 م ف ف ف + 4 ف 4 د د ف د ف د ف عندما ف 5 4 ن ن 5 5 ن ن + 4 ن) () ن 4) ومنها ن لكن د ف 4 4 ن عندما ن.1 لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 1

32 ث ث بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات د ف عندما ن د ف عندما ف 5 تكون 4 د د د 14 مثال ( 41 :) مصباح كهربائي في قمة برج ارتفاعه 64 قدم أقطت كرة من الكون من نقطة تبعد 4 قدم عن المصباح وعلى نف االرتفاع الكرة اوجد رعة تحرك ظل الكرة على األرض بعد ث واحدة عن قوطها إذا علمت أن تارع الجاذبية األرضية قدم /ث مالحظة في نف المثال إذا علمت أن المافة التي يقطعها جم اقط هي ف ( ن ( 6 ن ف كرة د ف- 4 ن ف 64 ف- فع 4 ن+ / ت ن 4 ف /+4 ن 6 ن 64 6 ن ف 6 ن ن د - 54 ن ن د - 44 ن 2 مثال ( 49 :) تتحرك نقطة مادية على على المنحنى ق)( + 9 فإذا كان معدل تزايد االحداثي اليني للنقطة المتحركة 5 وحدات /ث 4 اوجد معدل تغير ماحة المثلث الذي رؤوه نقطة األصل 4( )4 والنقطة الثابتة ( ) 4 والنقطة المتحركة ع د د م 5 دن االرتفاع م / القاعدة م م لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات )4 4( ( ص ) )4 ( / / ص د م ع لكن ع ص د ص + 9 لكن ص د د ص د ص +6 9 د م --

33 ) ث/ أ/ بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال )4(: من الكتاب ص تتحرك نقطة مادية على على المنحنى ق)( + 5 فإذا كان معدل تزايد االحداثي اليني للنقطة المتحركة 4 اوجد معدل 4 تغير المافة بين النقطة والنقطة ) 4 (عندما م 4( )4 والنقطة الثابتة ( ) 4 والنقطة المتحركة د ف دن د ( ص ) )4 ( 4 ف ( + )ص 4 ( يكمل تمرين للطالب مثال ( :) يتحرك متقيم في الربع االول بحيث يبقى مالما فإذا كان معدل للدائرة التي معادلتها ص+ تغير االحداثي اليني لنقطة التما م / ث جد معدل تغير االحداثي اليني لنقطة تقاطع المما مع محور الينات عندما يكون االحداثي اليني لنقطة التقاطع ياوي م د/دن دأ/دن ج أ نق المما )م ب ) ( ب ج ) + ( ج م ) + أ ( أ ) ص+ + أ + أ ص+ أ ومنها أ لكن ص+ د - د أ أ - د أ د أ - م مثال ( :) تحرك رجل من النقطة أ واتجه شماال برعة 4 قدم/ ث وبعد ثانية من تحركه تحرك ابنه من النقطة أ واتجه شرقا برعة 1 قدم / ث جد معدل تغير المافة بين الرجل وابنه بعد ث بعد تحرك الرجل. د ف د د ص ف ص 1 4 عندما ن من تحرك الرجل ث من تحرك االبن عندما ن من تحرك الرجل ص 4 4 عندما ن من تحرك االبن 1 1 ف ص+ د د ص + ص د ف ص+ د ف د ف مثال ( :) بدات النقطة الحركة من نقطة االصل في االتجاه الموجب لمحور الصادات برعة م / ث وبعد مضي ث بدأت نقطة اخرى الحركة من نقطة ( ) 4 في االتجاه الموجب لمحور الينات برعة م / ث جد معدل البعد بينهما بعد مضي ثانية واحدة من حركة النقطة الثانية د ف د د ص ف ص بعد مضي ثانية واحدة من حركة النقطة الثانية النقطة الثانية ن النقطة االولى ن لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات

34 ص+) ن ن بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات ص عندما ن تكون ص عندما ن تكون ف د ف د ف د ف ) ) ) + ) + ص+ د + ص ) د ص ) ص+ + + ) + ( )( + ) 6 + ( مثال ( :) بدأت نقطة الحركة من نقطة االصل على منحنى ق) ) في الربع االول ومبتعده عنها برعة 6 م / ث جد معدل ابتعادهما او اقترابهما عن النقطة ( 4 ) 5 بعد ثانية من تحركة ق) ) )5 4( ف د ف د ) ص ) 6 5 ن عندما ن تكون 6 )5 + ) 5 ) د 5- ) + ف )- 4 ( ف د ف ) لكن ص ) د د ف طريقة ثانية ف ) 5 - ( )( + ) 5 - ( جتا 5 مثال ( 5 دائرتان متحدتان في المركز نصفا قطريهما م 1 م. ابتدات الدائرة الصغرى تتع بحيث يزداصف قطرها بمعدل م / د 4 وفي نف اللحظة اخذت الدائرة الكبرى تصغر بحيث يتناقص نصف قطرها بمعدل م/ د 4 اوجد معدل التغير في الماحة المحصورة بين الدائرتين في اللحظة التي تصبح هذه الماحة تاوي صفرا 4 نق نق + ن نق 1 - ن م ماحة الكبرى ماحة الصغرى 1( - ن ) - ( + ن ) د م -1( - ) - ) +( لكن عندما م 4 يكون نق نق + ن 1 - ن ومنها ن د م ) -1(6- ) +(- د م ) 5- لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 4

35 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 6 :) أقلعت إحدى الطائرات من إحدى المطارات في الاعة الابعة صباحا متجهه نحو الشرق برعة 44 كم /اعة وبعد اعة واحدة من إقالعها أقلعة طائرة أخرى من نف المطار متجهه نحو الجنوب برعة 644 كم /اعة اوجد معدل تغير المافة بين الطائرتين بعد اعة واحدة من إقالع الطائرة الثانية ف ص د ف د د ص بعد اعة من إقالع الطائرة الثانية زمن الطائرة الثانية ن اعة زمن الطائرة االولى ن اعة ص عندما ن تكون ص عندما ن تكون ف د ف 5 ص+ د ص + د ص ص د ف مثال ( :) لم طوله 4 م يتند على حائط راي بدا باالنزالق وكانت رعة انزالقه على الحائط م/ث اوجد رعة انزالقه على األرض عندما يكون رأه على ارتفاع 1 م عن األرض د د ص ص 4 ص 1 44 ص+ د د ص صفر + ص عندما ص 1 فان 6 د صفر د 6 - تعني تتناقص 6 مثال )1(: من قمة برج يرتفع عن طح بحيرة بمقدار م اذا رصد فرا زورقا يير برعة.5 م/ ث مبتعدا عن قاعدة البرج فجد رعة تغير زاوية انخفاض خط نظر فرا عندما يكون الزورق على بعد 9 م من قاعدة البرج زاوية االنخفاض د ه د ه.5 ه 9 المقابل ظا ه المجاور د - د ه قا ه عندما 9 فان ف )9( +)( ومنها ف 5 جتا ه - د ه.5 1 جتا ه لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات

36 ف ب) بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات ف مثال ( 9 :) مثلث متاوي الاقين طول كل من ضلعيه المتاويين 6 م اذا كانت رعة تغير الزاوية ه المحصورة بين الضلعين المتاويين للمثلث / د فجد رعة تغير ماحة المثلث عندما تصبح ه /6 راديان د م د ه ه 6 م 6 م ه 6/ م / 6 6 جا ه م 1 جا ه اذن م د ه د م 1 جتا ه د م 1 جتا ( )6/ لكن / 94 د م 4/ مثال ( 4 :) مهم ج أ ب ثالثة مدن يصل بين ج أ طريق متقيم طوله 5 كم ويصل بين أ ب طريق متقيم أخر طوله 4 كم ممتد على اتقامته في اتجاه أ ب وكانت 5 زاوية ج أ ب 94 وفي الاعة الابعة صباحا قام راكب دراجة من )ج( متجها نحو ( أ ) برعة 5 كم/اعة وفي نف اللحظة قام راكب دراجة من ) في االتجاه )أ ب ) برعة 6 كم/اعة اوجد معدل تغير البعد بينهما في التاعة صباحا 4 د ف د د ص 5-6 في التاعة صباحا يكون كال منهما قطعا مافة ن ص عندما ن تكون ص 6 عندما ن تكون -5( )5 5 ص+ ص ف + 5 ف ب ومنها ف د ص د د ف + ص د ف مثال ( ق) ) رم مما لمنحنى االقتران ق) ( 1/ في )4 ع الربع االول كما في الشكل ) ص ) المجاور فكان مقطعاه اليني والصادي ل ع على ( ل 4 ) الترتيب فاذا كان المقطع اليني يزيد بمعدل ( ) وحدة /ث جد معدل تغير المقطع الصادي عندما يكون المقطع اليني ( 4( وحدات. د ع د ل وحدة ل 4 ع ق) ) (... ) - 4 ل ع ص - 1 لكن ق) ) - 4 ع 1( / ) ومنها (... ) ع من ( ) ( ) ع ل د ع - دل ل لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات أ ج )

37 م د/ بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( :) مصباح معلق فوق مركز منضدة دائرية أفقية ارتفاعها عن األرض 94 م ونق 4 م تحرك المصباح رايا الى أفل نحو المنضدة برعة ثابتة 6 م/ث اوجد معدل تغير نصف قطر دائرة ظل المنضدة على األرض عندما يكون ارتفاع المصباح عن المنضدة 64 م 4 الحل نق: د د - 6 م/ث أ 4 م 64 من تشابه أ ب ج أ د ه ج ب 4 94 نق + 94 ه د 144 نق 4 + ق د 4 94 ق نق مثال ( :) تتاقط الرمال على متوى أفقي معدل 4.49 م مكونة مخروطا دائريا قائما يتزايد كل من نصف قطر قاعدته وارتفاعه فإذا علم أن نصف زاوية رأ 5 المخروط هي دائما )64 (اوجد معدل تزايد ارتفاع ) المخروط عندما يكون االرتفاع ( 64 د ع د ح ع 4.49 نق ع حجم المخروط / نق ع المقابل نق ظا 64 ومنها نق ع المجاور ع ع 9 اذن ح / ع 9 ع / د ع ع د ح بالتعويض د ع/ 4. / مثال )(: طريقان متقيمان يميل احدهما عن األخر بزاوية 5 قياها ( 64 ) ويلتقيان في أ ويوجد بيت على احد الطريقين ويبعد كم عن أ فإذا ار رجل على الطريق األخر برعة كم /اعة باتجاه أ اوجد معدل تغير بعده عن البيت التي يبعد عنها.5 كم عن النقطة أ. المقطع الصادي عندما يكون المقطع اليني ( 4( وحدات. د ف د بيت - كم/ ف 64 م.5 + جتا 64 ف + ف د د د ف + ف عندما ومنها ف ف د ف ( - ) مثال )5(: يزداد حجم بالون بمعدل 44 م / د 4 اوجد معدل الزيادة في نصف قطره ومعدل الزيادة في ماحة طحه في اللحظة التي يكون فيها نصف قطر البالون 4 م 4. ق د ح 44 نق نق حجم البالون / نق ق نق د ح بالتعويض /5 ق/ دن ومنها ق/ 44 يكمل الحل م قن. لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات

38 ع 5 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال )6(: خزان ماء على شكل مخروط قائم رأه الى أفل نصف قطر قاعدته 5 م وارتفاعه م يترب الماء من ثقب في رأه الى حوض اطواني دائري قائم نصف قطر قاعدته م وارتفاعه م 4 اوجد ارتفاع الماء في المخروط عندما يكون معدل ارتفاع الماء في االطوانة ماويا لمعدل انخفاض الماء في المخروط 4 ع د ع د ع حجم المخروط / نق ع 5 لكن ومنها نق نق ع 5 ع 5 ع ع ح كذلك حجم االطوانة نق ع ع عندما ح الماء في المخروط ح الماء في االطوانة 5 ع ع د ع 5 ع د ع 5 ع ومنها ع 5 مثال ( :) نقطة تتحرك على المنحنى ص 6 فاذا كان معدل التغير في االحداثي اليني 4/ م / ث ومعدل التغير في االحداثي الصادي لنف النقطة 4/ م / ث اوجد موضع هذه النقطة على المنحنى د د ص 4 4 ص 6 د ص د ومنها لكن ص 6 ومنها ص -64 مثال ( 1 خزان ماء على شكل مخروط دائري قائم رأه الى أفل نصف قطر قاعدته 5 قدم وارتفاعه 4 قدم اذا كان الماء يترب من الخزان بمعدل قدم / د وكانت حنفية تصب الماء في الخزان بمعدل ثابت قدره ج جد قيمة ج بحيث يكون معدل ارتفاع الماء قدم / ث في اللحظة التي يكون فيها عمق الماء قدم نق 5 ص د ص د خ ج 4 د ح ما يصب ما يخرج ج - خ ح / نق ع الماء ع 4 5 لكن ومنها نق نق ع ع ع 9 ع ح د ع د ح 9 ع 9 ج - ومنها ج 6 + مثال ( *** :) طريق دائري نصف قطره نق مصدر ضوء يقع في مركز الدائرة يارة تير على الطريق الد\ائري برعة 54 كم/اعة من نقطة تما ب الطريق الدائري يم جدار متقيم اوجد رعة ظل اليارة على الجدار عندما تقطع 1/ دورة الحل: / 1/ / لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات ب نق

39 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال )4 يقف رجل على رصيف حوض للفن ويحب حبال احد طرفيه متصال بقارب وطرفه االخر يمر ببكرة ترتفع. م عن خط ير القارب فاذا كانت رعة تزايد الزاوية بين خط ير القارب والحبل تاوي 4/ راديان / ث عندما كان القارب على بعد (.6( م عن الرصيف فما الرعة التي يحب بها الرجل الحبل زاوية االنخفاض د ف د ه. ف 4 ه.6. المقابل جا ه ف المجاور د ف -. د ه جتا ه ف عندما.6 فان ف ).6( +).( ومنها ف جتا ه د ف مثال ( قائم رأه الى أفل خزان ماء على شكل مخروط دائري نصف قطر قاعدته 1 دم وارتفاعه دم يترب الماء من ثقب في رأه الى حوض اطواني دائري قائم وقطر قاعدته دم وارتفاعه م 4 اوجد معدل ارتفاع الماء في االطوانة عندما يكون ارتفاع الماء في الخزان المخروطي دم و معدل انخفاض الماء في الخزان المخروطي دم / د. تمرين للطالب مثال ( 9 :) يرشح محلول من وعاء مخروطي الشكل نصف قطر قاعدته 4 م وارتفاعه 64 م اذا علمت ان هذا المحلول يصب في وعاء اطواني الشكل نصف قطر قاعدته 5 م ما معدل ارتفاع المحلول في االطوانة اذا علمت ان معدل هبوط المحلول في المخروط.5 /د عندما يكون ارتفاع المحلول في المخروط 4 م وارتفاعه م 4 اوجد ارتفاع الماء في المخروط عندما يكون معدل ارتفاع الماء في االطوانة ماويا لمعدل انخفاض الماء في المخروط 4 د ع د ع م -.5 م /د ع م 4 معدل الزيادة في االطوانة معدل النقصان في المخروط 4 حجم المخروط / نق ع ع 64 4 لكن ومنها نق نق ع ع ع ح ع 9 د ح ع د ع كذلك حجم االطوانة نق ع ح 5 ع د ع د ح 5 د ع 54-5 لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 9

40 ص(: بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات ** مثال ( الشكل المجاور يمثل مثلثا متاوي االضالع مروما داخل دائرة تتمدد الدائرة 64 والمثلث معا مع بقائها ص ص على نف الهيئة 4 المبينة في الشكل. اذا علمت ان نصف قطر الدائرة يزيد بمعدل 4. م/داحب معدل تغير ماحة المنطقة المظللة عندما يكون طول نصف قطرالدائرة) 4 م ) د م نق 4 م م نق م ص جا 64 ص المجاور لكن جتا 4 الوتر / ص ومنها ص م المنطقة المظللة م -- م ) - ) - د د د م - د د م مثال ( أ ب قطعة متقيمة طولها ( 1 ) م يتحرك طرفها أ على محور الينات الموجب بينما يتحرك طرفها ب على أ ب ج محور الصادات الموجب بحيث تزيد الزاوية برعة 4/ راد / ث احب معدل تغير ماحة المثلث أ ب م عندما تكون أ على بعد ( ) م من نقطة االصل م ب د ه د م ه 4 1 ص أ ج م / القاعدة االرتفاع / ص المقابل جا ه المجاور 1 د ه د جتا ه 1 د 1 4 د 1 4 ص كذلك جتا ه 1 د ه د ص - جا ه 1 - د ص 1 4 د ص لكن م / ص د د ص د م + ص بالتعويض د م 4.1 لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 41

41 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( صفيحة معدنية متطيلة الشكل تتمدد بانتظام بحيث يبقى طولها ياوي ثالثة امثال عرضها. اوجد معدل التغير في ماحة هذه الصفيحة بالنبة الى طولها عندما يكون طولها 5 م. د م د ل ل 5 م ع ل ل لكن ل ع ل ع ع ل م د م د ل ل د م د ل 5 د م 4 د ل مثال ( 5 :) متطيل يزيد طوله بمعدل م / ث ويتناقص عرضه بمعدل م /ث جد معدل التغير في ماحة المتطيل عندما يكون طوله 4 م وعرضه 6 م مباشر تمرين للطالب 6 مثال ( إذا كانت المقاومة الكلية )م( لمقاومتين موصولتين على التوازي )م م (تعطى بالعالقة + م م م ( م م م ) مقاه باالوم فإذا كانت م م تزدادان بمعدل اوم/ث.5 اوم/ث على الترتيب جد معدل الزيادة في المقاومة م عندما يكون م 54 اوم م 5 اوم + م م م د م - د م - د م - + ( م ) ( م ) م لكن + ومنها م م - - د م د م 4 مثال ) في الشكل المجاور يمثل مكعب خشبي طول ضلعه 4 م د أ اطلقت عليه نملتان ج ب في نف اللحظة االولى ف 4 ع من الرا أ ح ه ( وعلى الحرف أ د ) ص وباتجاه الرا د ز و وبرعة م / ث والثانية من الرا ه )وعلى الحرف ه و ) باتجاه الرا وبرعة م / ث اوجد معدل ابتعاد النملتين من بعضهما البعض بعد مرور ث من لحظة انطالقهما لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 41

42 ع ث/ م بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات الحل: د ف د ع د ص ن ث بع ث فان ص 6 ع ع ص د ع + ص ف د ف نق ص+ د ص 44 + ع د ف مثال ( 1 :) مخروط دائري قائم ارتفاعه ياوي نصف قطر قاعدته ويتمدد بالحرارة جد طول نف قطر قاعدة المخروط عندما يكون معدل زيادة نصف القطر ياوي / م/ث ومعدل زيادة الحجم ياوي م 5 المخروط هي دائما )64 (اوجد معدل تزايد ارتفاع المخروط عندما يكون االرتفاع ( ) نق د ح ق ع حجم المخروط نق ع نق لكن نق ع ح نق ق د ح نق نق مثال ( 9 :) صندوق قاعدته مربعة الشكل وارتفاعه ياوي ثالثة امثال طول ضلع قاعدته فاذا كان طول ضلع القاعده يتمدد بمعدل 4.5 م /ث احب. معدل التغير في حجم الصندوق عندما يكون طول ضلعه 1 م. معدل التغير في الماحة الكلية لطحه عندما يكون طول الضلع 1 م الحل:. د د ح 4.5 ع ح ع لكن ع اذن ح د ح د ح 1 د د د م م + ع لكن ع اذن م + د د م 1 5 د م ومنها نق لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 42

43 ع) ع) ع) بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال )4 4 م يمثل الشكل المجاور اناء ع الماء نق على شكل مخروط دائري قائم نصف قطر قاعدته ( 4 ) م وارتفاعه )4 ) م اغلق جزء م ل منه بقرص معدني دائري رقيق طول نصف قطره ( ) م يوازي قاعدة المخروط يمنع وصول أي مادة للجزء الفلي من االناء فاذا صب ائل في هذا االناء بمعدل ثابت قدره )5 ( م /ث جد رعة ارتفاع االناء عندما يكون حجم الائل في االناء ) (م د ع د ح 5 ح 4 حجم الماء حجم المخروط االكبر - حجم المخروط االصغر + ل( - ح قن اليجاد ل 4 4 ل قن )ع+ )9 - اليجاد ع بالتعويض ل ومنها ل 9 + )9-9 9 ح قن اليجاق بداللة ع ع + 9 نق ومنها نق ع )9-1 ح ) ع+ ( ح )ع+ )9 - د ع د ح )ع+ 9( 9 دن لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات ومنها ع 5 د ع د ع 5 +( )9 ومنها 6 9 مثال ( ب ه في الشكل المجاور أ ب 4 قطر في الدائرة طوله ( 4 ) م ج أ تتحرك النقطة ج على القو أ ب بحيث يزيد قيا الزاوية ج ب أ بمعدل / د احب معدل تغير ماحة المثلث أ ب ج عندما يكون قيا> ج ب أ / د م د ح / د ه / جا ه م لكن جتا ه ومنها 4 جتا ه 4 م 4 4 جاه جتاه م 44 جاه جتاه 44 جا ه د ه د م 44 جتا ه دن د م 44 جتا 4 دن 64 د م دن 64

44 ل بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات 44 مثال ( :) مثلث متاوي الاقين طول قاعدته ثابت وياوي ل اذا كان طول كل من اقيه يتناقص بمعدل م / د جد معدل تناقص ماحة المثلث عند اللحظة التي يكون فيها طول كل من الاقين ماويا لطول القاعدة د د م م / د ل م القاعدة االرتفاع / م ل ع لكن ع / ل + ل ومنها ع م اذن د م د م ع / ل / ل / ل د / ل / ل ل / ل ل / ل مثال ( (: من الكتاب ص يتمدد اضالع مثلث متاوي االضالع بمعدل م / د رمت دائرة داخل المثلث واخذت تتمدد مع المثلث جد معدل تمدد ماحة المنطقة المحصورة بين المثلث والدائرة عندما يكون طول ضلع المثلث م د د م م / د ماحة المنطقة المظللة ماحة - ماحة م / جا 64 نق لكن نق ظا 4 4 نق / نق ومنها نق / / لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات - ( ) - اكمل الحل م مثال ( :) نقطة ابتدأت الحركة من نقطة االصل على جزء لمنحنى ص الواقعة في الربع االول اوجد معدل تغير ماحة المثلث المكون من المما للمنحنى ومحور الينات والعمود النازل من نقطة التما على محور الينات اذا كان د م / ث عندما د م م / ) ل ) ص لكن ص 4 ل ( ص ) ( ل 4 )

45 أ) بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات لكن ص ومنها ل ومنها ل / / ) / ) / د م د م دن د م دن مثال 5( :) حلبة باق دائرية الشكل نصف قطر ها 44 قدم يجل شخص عند احد اطرافها يتحرك جم على الحلبة مبتعدا عن الشخص بمعدل 54 قدم / ث جد معدل تغير المافة بين الشخص والجم عندما يكون الجم على بعد 44 قدم عن الشخص ل الحل: ف د ف د ل ه 54 قدم أ م 44 - نق نق جتا ه )44( جتا ه د ه جا ه - )44( )44( ف 44 نق + نق ف )4 4( ف د ف مثال ( 6 تطير طائرة أفقيا في خط متقيم على ارتفاع ثابت مقداره 444 م فوق متوى نقطة الرصد الثابتة (ومبتعدة عن هذه النقطة وفي لحظة معينة كانت 5 زاوية ارتفاع الطائرة 4 وكانت رعة الطائرة تاوي 54 كم/اعة: ( جد معدل التغير في المافة بين الطائرة ونقطة الرصد)أ( في تلك اللحظة )بالوحدة م/ث( (جد معدل تغير زاوية ارتفاع الطائرة في تلك اللحظة. ) (... جتا ه )44( - )44( عندما ف 44 فان ه 64 لكن ل نق ه د ل د ه د ه 54 نق ومنها دن نق بالتعويض في ( ) د ف لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 45

46 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات :) 9 مثال ( مصعدان كهربائيان أ ب متقران في الطابق االرضي من عمارة والمافة االفقية بينهما ( 1 ) م بأ المصعد ( أ ) يرتفع لالعلى برعة ( م / ث ) وبعد ثانيتين بدا المصعد ( ب ) في االرتفاع لالعلى برعة ( م / ث ). جد معدل تغير المافة بين المصعدين أ ب بعد ث من بدء حركة المصعد ب. مثال ( مثال ( 1 ص ع طريقان متعامدان في ص 944 م ع 44 م بدا رجالن الحركة في نف الوقت باتجاه االول بدا من ص برعة 64 م / د واالخر من ع برعة 14 م / د اوجد معدل التغير في ماحة المثلث الناتج من حركتهما مع النقطة بعد ( 1( دقائق من بدء حركتهما مثال ( 54 :) يتحرك متقيم في الربع االول بحيث يبقى مالما للدائرة فاذا كان معدل تغير التي معادلتها ص+ االحداثي اليني لنقطة التما م / ث جد معدل تغير االحداثي اليني لنقطة تقاطع المما مع محور الينات عندما يكون االحداثي اليني لنقطة التقاطع ياوي م لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 46

47 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات التزايد والتناقص اذا كان ق) ) اقتران معرف على] أ ب [وكان [ أ ب ] متزايد على الفترة [ أ ب ] اذا كان < وكان ق) ) ق< ( ) متناقص على الفترة [ أ ب ] اذا كان > وكان ق) ) ق> ) ) مثال ( 5 :) اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( + على الفترة [ ] ق) ) ق) ) 5 ق) ) ق< ( ) متزايد مالحظة المشتقة مثال ( 5 :) اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( - على الفترة [ ] ق) ) ق) ) - ق) ) ق> ( ) متناقص مالحظة المشتقة مثال ( 5 :) اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( على الفترة [ ] ق) ) ق) ) ق) ) ق) ) ثابت مالحظة المشتقة صفر نظرية اذا كان ق) ) اقتران معرف على] أ ب [وقابل لالشتقاق على الفترة )أ ب( اذا كان ق ( ) > صفر لجميع قيم )أ ب( فان ق ( ) متزايد على الفترة [ أ ب ] اذا كان ق ( ) < صفر لجميع قيم )أ ب( فان ق ( ) متناقص على الفترة [ أ ب ] اذا كان ق ( ) صفر لجميع قيم )أ ب( فان ق ( ) ثابت على الفترة [ أ ب ] مثال ( 5 :) اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( على ح ق ( ) ومنها متناقص ( - ] متزايد [ ) مثال ( 55 اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران على ح ق) ( ق) ) ) ) ( + ) 4 ومنها لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 4

48 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات 4 مثال ( 56 :) اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( على الفترة ح + ق) ) + 4 ال يحلل المميز الب مالحظة اشارة االقتران التربيعي الذي مميزه الب دائما نف اشارة متزايد على ح مثال )5(: اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( [ ] 5 - ق ( ) مثال ( 59 :) اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( جتا [ 4 ] ق ( ) - جا - جا 4 ومنها 4 ومنها 4 / / / / 4 متزايد [ / ] / [ ] متناقص [ 4 ]/ ]/ [ مثال ( 64 :) اذا كان ق ( ). ما مجال هذا االقتران. حدد مجاالت التزايد والتناقص 4 ومنها ) المجال [ ) ) ق) ) لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات البط المقام ق) ) ) اذن متزايد على المجال [ 5-4 ومنها ± متناقص [ - ] متزايد [ 5- - ] [ ] مثال ( 51 :) اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( جا [ 4 ] ق ( ) جتا جتا 4 ومنها / / / ] / متناقص [ / ]/ متزايد [ 4 ]/ / [ 4

49 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات 6 مثال ( 6 :) اذا كان ق ( ). ما مجال هذا االقتران. حدد مجاالت التزايد والتناقص 6 4 ومنها ± البط المقام 6-6 ) المجال -( ) 6 [ ] 6 - ) ق) ) ق) ) [ 6 ) اذن متزايد - 6 ] متناقص ( مثال ( 6 :) 6 - اذا كان ق ( ) ما مجال هذا االقتران حدد مجاالت التزايد والتناقص - ) ق) ) ق) ) اذن متزايد [ - 6 ] 4 متناقص [ 4 ] مثال 6( :) اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( ق) ) - 4 المميز الب مالحظة اشارة االقتران التربيعي الذي مميزه الب دائما نف اشارة اذن متناقص على ح مثال ( 6 (: مهم جدا اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ( ) ق) ( ق) ) ق ( ) 1 ( ) 4 ومنها ) ] [ متزايد ( - متناقص 4 ومنها ± ) المجال [ - 6 ] 6 لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 49

50 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال )6(: مهم جدا اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران 4 < ق) ) 4 < ق) ) عند غير متصل < 4 < ق) ) < < why غ. ق عند why غ. ق عند صفر متزايد [ 4 ) [ ] مثال ( :)61 اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران > ق) ) ق متصل على ح < - > ق) ) مثال ( :)65 اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( + : صفر - ق) ( 4 ومنها ± متناقص [ - ] { 4 } متزايد) - ) [ ] - -- مثال ( :)66 اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( 5 - [ 4 ] ) ) 5 ( ) 4 4 > < غ. ق > < - ق) ) عند 4 غير قابل لالشتقاق اطراف فترة ) [ متناقص ] 4 متزايد) - 4 why متناقص [ ] لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات متزايد [ 4 ] 51

51 () بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات جا 4 4 اذن 4 / / مثال ( :)69 اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق)( / / -- مثال ( :) اذا كان ق) ( + جتا اثبت ان ق متزايد على ح ق ( ) جا ومنها جا وهذا متحيل جا 4 - جا ولكن اذن ق ( ) > 4 اذن ق) ) متزايد على ح مثال )(: اذا كان ق)( ه ( ) كثير حدود معرفان على [ ] ويقع كل منهما في الربع االول فاذا كان ق) ) متزايد في مجاله 4 ه ( ) متناقص في مجاله ه ( ) صفر ق ) متزايد في [ ] اثبت ان ( ه ق)( ه ( ) > 4 النهما في الربع االول النه متزايد ق) ) > 4 النه متناقص ه ( ) < ه ق - ق ه ق ( ) )( ه ه ه ق > 4 - ق ه > 4 ق ه < 4 هذا يعني ه > 4 موجب + موجب ق ( ) )( > 4 موجب ه اذن متزايد في [ ] - < - - > < - ق ( ) > عندما - غير قابل لالشتقاق لماذا لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات ) [ ] 4 متزايد -[ متناقص ( - - ] 4[ ] -- مثال ( :)4 اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ) ق ( ) ( ) البط والمقام دائما موجب متزايد على ح -- مثال )(: اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ( جا [ 4 ] ق ( ) جا جتا جا 51

52 ح ) () بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال )(: اذا كان ق)( اقترانا متزايدا على ح وكان ه ( ) متناقصا على ح وكان كل من ق ه قابلين لالشتقاق وكان ل) ) ق ) ) ه) ) متصال وقابال لالشتقاق على ح اثبت ان ل) ) متزايد على ح بما ان ق)( متزايدا اذن ق) ) > 4 ومنها ق) ) > 4 كذلك ه ( ) متناقصا اذن ه ( ) < 4 ومنها - ه ( ) > 4 اذن ل) ) ق ) ) ه ) (< 4 اذن ل) ) متزايد على ح مثال )5(: اذا كان ق) [:) - ] < ق) ) 5 5 اوجد مجاالت التزايد والتناقص غير متصل عند ان غير قابل لالشتقاق كذلك عند - 5 غير قابل اطراف فترة - > < ق) ) > < 4 > < 5 مثال ( 6 اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ) + الحل: + -)() ) () ) ق) ) ) + ) البط ومنها ) + ) 4 ومنها متناقص ( - - ] [ ) متزايد [ - ] ثابت متزايد [ 4 ) [ ] متناقص [ - ] 4 ثابت [ ] 5 لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 52

53 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات القيم القصوى افرض ن ق) (معرف على [ أ ب ] الحظ ). ق) ج ) اكبر من كل القيم المجاوره لها والقريبة جدا منها. ق) ه ) اكبر من كل القيم المجاوره لها والقريبة جدا منها. ق) ب ) اكبر من كل القيم المجاوره لها والقريبة جدا منها هذه القيم تمى قيم عظمى محلية ما عدا ب اكبر هذه القيم على الفترة [ أ ب ] هي ق) ه ) وتمى عظمى مطلقة مالحظة : اطراف الفترات فهي ليت محلية ). ق) أ ) اصغر من كل القيم المجاوره لها والقريبة جدا منها. ق) د ) اصغر من كل القيم المجاوره لها والقريبة جدا منها. ق) و ) اصغر من كل القيم المجاوره لها والقريبة جدا منها هذه القيم تمى قيم صغرى محلية ما عدا أ اصغر هذه القيم على الفترة [ أ ب ] هي ق) د ) وتمى صغرى مطلقة مالحظة القيم العظمى والصغرى تمى قيم قصوى كل مطلقة محلية ولي كل محلية مطلقة تعريف إذا كان ق) ) اقترانا معرفا على الفترة ع وكان ع وإذا أمكن إيجاد فترة مفتوحة ف تحوي فعندئذ. يكون لالقتران ق قيم عظمى محلية عند هي ق) ) إذا كان ق) ) ق) ) ف ع. يكون لالقتران ق قيم عظمى مطلقة عند هي ق) ) إذا كان ق) ) ق) ) ع. يكون لالقتران ق قيم صغرى محلية عند هي ق) ) إذا كان ق) ) ق ( ) ف ع. يكون لالقتران ق قيم صغرى مطلقة عند هي ق) ) إذا كان ق) ) ق ( ) ع مثال) (: إذا كان ق) ( + على ] [جد نقط القيم القصوى ونوعها 6 ( ق) ) ) صغرى مطلقة ( ق) ) ) عظمى مطلقة القيم لقصوى عظمى صغرى محلية مطلقة محلية مطلقة لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 5

54 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال) 14 ( : اذا كان ق) ) على 4[ [جد نقط القيم القصوى ونوعها ( 4 ق ( 4 ) ) عظمى مطلقة ( ق ( ) ) عظمى مطلقة ( ق ( ) ) صغرى مطلقة - مثال )1 اوجد القيم القصوى المحلية ان وجدت لالقتران لالقتران ] [ 4 ق) ) جتا - جا تمرين للطالب - مثال) 1 ( : الرم التالي يمثل االقتران ق) ) المعرف على ]أ ب ] لهذا االقتران مثال) 1(: إذا كان ق) ( + على ] (جد نقط القيم القصوى ونوعها 6 ( ق) ) ) صغرى مطلقة مالحظة: إذا كان االقتران معرفا على فترة مغلقة يوجد عند االطراف قيم قصوى اما اذا كان معرفا على فترة مفتوحة ال تنظر الى الطرف المفتوح على انه قيم قصوى مثال) 9 ( : اذا كان ق) ( على ]- [جقط القيم القصوى ونوعها 9 6 ج أ د ب ) د قيمة عظمى مطلقة ( ) ج قيمة صغرى مطلقة ( - -( ق) - ) ) ( ق) ) ) عظمى مطلقة ( 4 ق) ) 4 ) صغرى مطلقة لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 54

55 > 6 6 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات النقطة الحرجة يكون لالقتران نقطة عندما ج : ج للمجال اذا تحقق الشرطين التاليين. ق) ج ) صفر 2. ق) ج ) غير موجودة مهم جدا جدا 4 مثال )15( : اذا كان ق ( ) 55 مالحظة على التعريف. اطراف الفترة المغلقة نقط حرجة ( النه اليوجد مشتقات عند اطراف الفترة ). اطراف الفترة المفتوحة ليت حرجه ( ال تنتمي للمجال ). الرؤو المدببة نقط حرجة ( جذور القيم المطلقة(. نقط االنفصال اذا كان االقتران معرفا عندها نقط حرجة 5. نقط القيم القصوى نقط حرجة 6. جذور المشتقة االولى نقط حرجة مالحظة االطراف ونقط تقاطعه مع محور الينات بالنبة للمشتقة االولى نقط حرجة - مثال) )1 : جد النقط الحرجة لالقتران ق) ) + على الفترة [ 4 ] 5 ق) ) ومنها النقط الحرجة { 4 } 5 مثال) ) 1 : جد النقط الحرجة لالقتران ق) ) + ق) ) النقط الحرجة { ومنها } اوجد النقط الحرجة ق ( ) 4 لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات < > < > عندما متصل ق ( ) النقط الحرجة { 4 } 4.5 اطراف فترة لماذا لي حرجة 4.5 حرجة مثال) )16 : جد جميع النقط الحرجة لالقتران ق) ) على الفترة ( 4 ) ق) ) ومنها - ال يوجقط حرجة { 4 } لي حرجة مثال) 1 ( : جد جميع النقط الحرجة لالقتران ق) ) على الفترة [ 4 ] اذا كان - < 4 < ق ( ) > < 5 عندما متصل ق ( ) غ. ق النقط الحرجة { 4 } 5

56 ] بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال) ) 9 : مهم جدا ** اذا كان ق معرف على [ 4 ] وكان ق) ) + اوجد النقط الحرجة { 4 } حرجة اطراف فترة حرجة النه اصفار اقتران - لي حرجة النه الينتمي للفترة نظرية مثال) 11 ( : جد جميع النقط الحرجة لالقتران ق) ( على ح ق ( ( 4 ح حرجة مالحظة : الثابت كل مجاله حرجه مثال) )19 : جد جميع النقط الحرجة لالقتران ق) ( ] على ح كل مجاله حرجه ح مثال) ) 94 : هل حرجة لالقتران + ق) ) : لي له نقط حرجة حيث فقط هو نقطة انفصال وهو غير معرف عندها مثال) ) 9 : جد جميع النقط الحرجة لالقتران ق) ) : < ق ( ) > 4 < ق ( ) 4 > حرجة على ح { } اذا كان ق)( اقترانا معرفا على ]أ ب[ وكانت ق) ) قيمة قصوى لالقتران ق : [ أ ب ] فان ق) (تكون غير موجودة او موجودة وتاوي صفر مالحظة على النظرية. القيم القصوى ان وجدت لالقتران فانها توجد عندها نقط حرجة. النظرية ال تبحث في القيم القصوى الموجودة على االطراف لعدم وجود مشتقة. عك النظرية لي بالضرورة صحيح اذا كان ق)ج ) 4 لي بالضرورة ان يكون ق)ج ) قصوى. قجد قيم قصوى عنقطة ليت على االطراف لكن ال نتطيع تطبيق النظرية عليها لعدم وجود مشتقة مثال) 9 ( : اذا كانت النقطة ج نقطة حرجة لالقتران ق فهل ق) ج ) قيمة قصوى لالقتران ق فر اجابتك لي كل حرجة قيم قصوى والمثال التالي يوضح ذلك لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 56

57 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال) 95 ( : جقط القيم القصوى ونوعها لالقتران ق) ) ق) ) 4 ومنها ( ق ( ) ) قيمة صغرى محلية مثال) 96 ( : جقط القيم القصوى ونوعها لالقتران ق) ) [ ] 5 ق) ) ومنها ( 4 ق ( 4 ) ) ( 4 ) 5 عظمى مطلقة ( ق ( ) ) ( - ) صغرى محلية مطلقة ( 5 ق ( 5 ) ) ( 5 ) 4 - مثال) 9 ( : ق) ( على الفترة ]- ]. هل لالقتران قيم قصوى عند الصفر. هل لالقتران نقطة حرجة عند الصفر ق) ) ومنها اذن { - } 4 نقط حرجة لكنه لي له قيمة قصوى عند 4 حب النظرية االحقة اختبار المشتقة األولى للقيم القصوى اذا كان ق) ) اقتران متصال على] أ ب [وقابل لالشتقاق على الفترة )أ ب( وكانت ( ج ق)ج((: ج [ أ ب ] عندئذ مالحظة اطراف الفترة ممكن ان تكون مطلقة ولكن لي محلية اذا كان ق ( ) صفر لكل < ج وكان ق)( 4 لكل > ج فان ق)ج ) قيمة عظمى محلية لالقتران ق اذا كان ق ( ) صفر لكل < ج وكان ق)( 4 لكل > ج فان ق)ج ) قيمة صغرى محلية لالقتران ق طريقة ايجاد القيم القصوى اتبع ما يلي. جد المشتقة االولى لالقتران ق) ). جد اصفار المشتقة االولى ق) ) 4 ( أي نجد النقط الحرجة(. ابحث في اشارة المشتقة االولى لتحديد مجاالت التزايد والتناقص اذا تحول االقتران من متزايد الى متناقص له قيمة عظمى اذا تحول االقتران من متناقص الى متزايد له قيمة صغرى لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 5

58 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات النقط الحرجة لالقتران -. ( - - ] [ ) متزايد [ - ] متناقص. ( - ق ( - ) ) عظمى محلية مطلقة ( ق) ) ) صغرى محلية مطلقة. ( - ) صغرى محلية مطلقة. ( - ق ( - ) ) ( ق) ) ) مثال) 44 ( : جقط القيم القصوى ونوعها لالقتران + - < ق ( ( مثال) 9 ( : جقط القيم القصوى ونوعها لالقتران ] - [ - ق) ) 1 6 ق) ) 6 4 ( - ) 4 ومنها 4 ± لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات ) 4 - ( صغرى محلية مطلقة ( - 5- ) عظمى مطلقة ( 4 ) ( - 5 ) صغرى محلية مطلقة ( ) 9 عظمى مطلقة مثال) 91 ( : جقط القيم القصوى ونوعها لالقتران ق) ) جا 4[ ] ق) ) جتا ومنها / جتا / ( 4 ) 4 صغرى مطلقة ( / ) عظمى محلية مطلقة ( 4 ) صغرى مطلقة مثال) 99 ( : الرم التالي يمثل المشتقة االولى لالقتران اعتمادا علية اجب عما يلي مجاالت التزايد والتناقص لالقتران نقط القيم القصوى لالقتران نقط القيم القصوى للمشتقة االولى ونوعها > < > < 5 - ق ( ) 5 > < عندما - غير قابل لالشتقاق اطراف فتره عندما غير قابل لالشتقاق عندما 5 غير قابل لالشتقاق ) - ( ( ) صغرى محلية ( ) عظمى محلية ( 5 ) 4 صغرى محلية مطلقة ( ) 1 عظمى مطلقة

59 ) ) د 9 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال) 4 ( : اذا كان ق ( ) 9 : ح. اوجد قيم التي يكون عندها نقط حرجة. فترات التزايد والتناقص. القيم القصوى 9 - تمرين للطالب ق ( ) 9 ) ) مثال ( 4 كان ميل المما لمنحنى ق)( عند أي نقطة هو ق)( ) - ( -( -5( فما جميع قيم التي يوجد عنده قيم صغرى محلية لمنحنى االقتران ق)( أ( }5{ ب( { }5 ج( { } ) { } مثال) 4 ( : جقط القيم القصوى ونوعها لالقتران ق) ) ق) ) - ال تحلل 4 - متناقص على ح ال يوجد قيم قصوى مثال) 4 ( : الرم التالي يمثل المشتقة االولى لالقتران. القيم القصوى المحلية لالقتران. نقط القيم القصوى للمشتقة االولى ونوعها الحل. مالحظة : النقط الحرجة هي اطراف الفترة باإلضافة الى نقط تقاطعه مع محور الينات { - - } / ( - ق ( - ) ) صغرى محلية ( / ق ( / ) ) عظمى محلية ( ق ( ) ) صغرى محلية مثال) 45 ( : اذا كان ق) ) أ + ب + + اوجد قيم أ ب اذا علمت ان لالقتران قيمة عظمى عندما وقيمة صغرى عندما ق) ( أ + ب + 9 له قيمة عظمى عند ق) ) 4 أ + ب (... ) له قيمة صغرى عند ق) ) 4 أ + ب (... ) من ( ) ( ) (- أ + ب ) أ + ب أ ب 6 4 أ + ب أ 1 4 ومنها أ وبالتعويض في ( ) تكون ب اعتمادا علية اجب عما يلي. النقط الحرجة لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 59

60 ) بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال) 41 ( : جقط القيم القصوى ونوعها لالقتران + < ق ( ) 5 < ق ( ) - 5 عندما متصل لكنه غير قابل لالشتقاق النقط الحرجة 4 ومنها النقط الحرجة { } ( ق) ) ) ( ) صغرى محلية ( ق) ) ) ( ) 5 عظمى محلية مثال) 49 ( :** -[ ] ليكن ق) (. اوجد جميع النقط الحرجة لالقتران ق. جد القيم القصوى المحلية والمطلقة. اطراف الفترة + اصفار المشتقة االولى حرجة 6 - ق) ) بالقمة على () + ) 4 - اذن الحرجة -{ - } 4 مثال) 46 ( : ما هو االقتران التربيعي الذي يمر بالنقطتين ) - ( ) 4 4( وله نقطة حرجة عندما قاعدة االقتران التربيعي ق) ) أ + ب + ج 4( ) 4 تحقق المعادلة ومنها ج 4 ( - ) تحقق المعادلة ومنها أ ( ) ب+ ( ) ومنها أ + ب - (... ) له نقطة حرجة ق) ) 4 ق) ) أ + ب ق) ) 4 أ + ب 4 (... ) من ( ) ( ) أ + ب - - ( أ + ب 4 ) ب - وبالتعويض في ( ) أ مثال) 4 ( : جقط القيم القصوى ونوعها لالقتران - ق) ( ق ( ) - ق ( 4 ) غ. م - 4 النقط الحرجة { - } 4 بتكعيب الطرفين ومنها ± تمرين للطالب حدد القيم القصوى لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 61

61 () بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال) 4 ( :** الرم التالي يمثل المشتقة االولى لالقتران ق كثير الحدود من الدرجة الثالثة اعتمادا عليه. جد مجاالت التزايد التناقص. نقاط القيم العظمى المحلية لالقتران ق مثال ) 5 + اذا كان ق) ) + -[ ] جد. فترات التزايد والتناقص لالقتران ق) ). نقط القيم العظمى والصغرى + 5. ق) ) ( + 5 ) 4 ومنها - / /5 - متزايد -[ - /5 ] [ ] متناقص [ - /5 ]. -( ق) - )) -( 5- ) صغرى مطلقة ( /5- ق) /5- )) /5-( - (عظمى محلية ( ق) )) ( - ) صغرى محلية ( ق) )) ( ) عظمى مطلقة -- مثال ( :) + 5 اذا كان ق) ) -[ ] اوجد. الفترات التي يكون فيها االقتران ق) ( متناقصا. القيم القصوى المحلية. ق) ) 4 ومنها ( + ) ( ) 4 ومنها / / اكمل الحل - متزايد ( - - ] [ ) متنااقص [ - ]. ( - ق) - ) ) عظمى محلية ( ق) ) ) صغرى محلية مثال) ( :** اذا كان < ق) ) 5 اوجد. قيم التي يكون عندها لالقتران ق نقطا حرجة. القيم العظمى والصغرى. < ق) ) - > عندما متصل ولكن غير قابل لالشتقاق ومنها 4 ومنها 4 اذن النقط الحرجة { 4 } تمرين للطالب حدد القيم القصوى لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 61

62 ب ب بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات. ق) ) ) + ) غير قابل لالشتقاق عند - وبما ان ق) ) 4 اذن النقط الحرجة { - } مثال )(: اوجد القيم القصوى المحلية والمطلقة ق) ) /[ + ] [ ] صفر > < ق) ) صفر > < 6 صفر 6 > < 1 عند 1 اطراف الفترة غير قابل لالشتقاق عند غير قابل النه غير متصل عند 6 غير قابل النه غير متصل للفترات ( ) ( ) 6 ( 6 ) 1 صغرى وعظمى محلية عظمى مطلقة [ 6 ] 1 صغرى مطلقة [ ] اطراف الفترات الداخلية ليت مطلقة مثال )5(: اوجد النقط الحرجة والقيم القصوى المحلية. ق) ) 6 - ال يوجد قيم قصوى مثال 6( :).إذا كان ق)( معرفا على الفترة] [ 4 وقابال } لالشتقاق في الفترة )4 ( حيث ق) ) + فان جميع قيم التي يوجد عندها قيم حرجة 4{ ) لالقتران ق ) ) هي أ( 4{ - } د( { } ج( 4{ } مثال ( قيمة صغرى إذا كان لالقتران ق)( م محلية عند فان قيمة الثابت م تاوي ) أ( - د( ج( ق) ) < ق ( ) > عندما متصل لكنه غير قابل لالشتقاق النقط الحرجة { } لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات ( ق) ) ) قيمة صغرى محلية 62

63 أ أ أ ) ) د د 9 ب ج( بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ) إذا كان ق)( : 6 6 فان ق)( يكون متزايدا عندما فان الفترة التي يكون فيها االقتران ق)( متزايدا هي أ( صفر ج( -6 : 4 ب( -6 6 د( مثال ( إذا كان ق)( + أ + 5 ق) ) حرجة عند فان قيمة أ أ( - 6- ب( صفر ) مثال ( 1 (: مهم جدا إذا كان ميل المما لمنحنى ق)( عند أي نقطة هو -5( فان جميع )- ق)( - ) قيم التي يوجد عندها قيم صغرى محلية لمنحنى االقتران ق)( ب( { }5 أ( }5{ ) { } ج( { } مثال ( 9 إذا كان ق اقترانا معرفا على [ 4 ] وكان ق) ) صفر ق ) ) - ق) ( - فان مقدار القيمة العظمى المحلية لالقتران ق هي : ب( - - ) د( ج( صفر مثال )9 + 5 ح فان - إذا كان ق)( الفترة التي يكون فيها االقتران ق)( متزايدا هي : [ ) ) أ( ( د( -[ ] ) ج( ( مثال )4 مجموعة النقط الحرجة لالقتران 6 هي ق)( ب( 4{ }6 1 ) 4{ }6 د( غير موجودة ج( }1{ مثال ) اقترانا معرفا على )- ) وكان 4 اذا كان ق)( ق) ) صفر ق ) ( - ق) ( 5- فان مقدار القيمة العظمى المحلية لالقتران ق هي : ب( - 5- ) د( صفر ج( مثال ( وكان لهذا إذا كان لالقتران ق)( أ االقتران نقطة حرجة عند فان قيمة الثابت أ تاوي ب( أ( - د( - وكان لالقتران مثال ( 5 :) اذا كان ق اقترانا متصال على الفترة [ - ] وكان للمشتقة الثانية الشكل البياني المجاور فان ق يكون متناقصا في الفترة مالحظات مهمة. رم المشتقة االولى والمشتقة الثانية بالنبة لالقتران االصلي - فوق محور الينات موجب - تحت محور الينات الب. ق ( ) ق ( ) ق) ) + متزايد - متناقص فوق محور الينات + متزايد على الواقع تحت محور الينات - متناقص على الواقع ) ) ج( لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 6

64 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات اختبار المشتقة الثانية في ايجاد القيم القصوى نظرية ونوعها اذا كان ق) ) متصال على [ أ ب ] ق ق موجودتين ( أ ب ) وكانت ق) ) صفر ( أ ب ) فانه... اذا كانت ق ) ) > صفر فان ق) (صغرى اذا كانت ق) ) < صفر فان ق) ) عظمى اذا كانت ق ) ) صفر تفشل وتعود الى اختبار المشتقة االولى طريقة االتعمال نجد المشتقة االولى وناويها بالصفر ثم نجد الجذور. نجد المشتقة الثانية ونعوض في جذور االولى اذا كانت القيمة موجبة اذا كانت القيمة البة اذا كانت القيمة صفر المشتقة االولى صغرى عظمى تفشل نعود الى مثال ( 6 :) الرم التالي يمثل المشتقة االولى لالقتران ق) ) ] -[ ) /( )4 -( )4 ( )4 ( - ) - ( اعتمادا عليه حدد. فترات التزايد والتناقص لالقتران. القيم القصوى لالقتران ونوعها. فترات التزايد والتناقص للمشتقة االولى. القيم القصوى للمشتقة االولى 5. القيم القصوى للمشتقة االولى متزايد [ - ] [ ] متناقص [ - - ] [ ]. )- ق)- (( ) ق )(( صغرى محلية ) ق) (( عظمى محلية /. تمرين للطالب لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 64

65 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات - 5-[ ]5 + مثال )(: ق)( - اوجد. النقط الحرجة أن أمكن. مجاالت التزايد والتناقص لالقتران أن أمكن. نقط القيم القصوى المحلية والمطلقة أن أمكن تمرين للطالب ق ( ) ( ) 4 ومنها 4 ق ) ( ق ) ) 4 ( 4 ) ( 4 ) 4 ال تصلح ال يوجد قيم قصوى عند 4 ق ) ( )( + له قيمة صغرى وهي ( ق) ) ) مثال )(: باتخدام المشتقة الثانية جقط القيم القصوى ق) ) جا جتا [ 4 ] ق ( ) جا جتا + جا جا + جا جا ومنه جا 4 ومنه ق ( ) جتا ق ( ) جتا - له قيمة عظمى عند وهي ( ق ( (( اما عند االطراف نتخدم اختبار المشتقة االولى ( 4 ق ))4( ( 4 - ) ) - ( )) ( ق ( اذن صغرى مطلقة عند االطراف مثال )1(: باتخدام المشتقة الثانية جقط القيم القصوى 9 + ق) ) 6 9 ق) ) بالقمة على 4 ومنها ) () + ) 4 ومنها - ق ) ) 6 6 ق ) - ) له قيمة عظمى محلية عند - وهي ( - ق) - )) ق ) ) 6 6 له قيمة صغرى محلية عند وهي ( ق) )) مثال )9(: بين ان اختبار المشتقة الثانية ال تصلح ق) ) + ق ( ) 4 ومنها 4 ق ) ) ق ) ) 4 ( 4 ) 4 ال تصلح النظرية اليجاد القيم القصوى تمرين للطالب مثال )4(: باتخدام المشتقة الثانية جقط القيم القصوى ق) ) لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 65

66 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( :) باتخدام المشتقة الثانية جقط القيم القصوى ق) ) < - > < - ق ( ) > + عندما - متصل لكنه غير قابل لالشتقاق ومنها ق) ) ال تنتمي -( ) ال تنتمي > ال تنتمي -< اذن النقط الحرجة هي { - } بما انه غير قابل لالشتقاق ال يطبق عليها اختبار المشتقة الثانية له قيمة صغرى محلية عند هي ق) ) - - مثال )(: - 4 ق ( ) > 4 اوجد فترات التزايد والتناقص لالقتران مثال )(: الرم التالي يمثل منحنى االقتران ق كثير الحدود من الدرجة الثالثة اعتمادا عليه. جد مجاالت التزايد والتناقص لالقتران ق. جد ق)ل( ق) و ) ق) ) 4. ارم منحنى ق) ) و ل [ و ) ق متزايد ( - ل ] [ ل و ] متناقص. عند القيم القصوى المحلية يكون ق) ) 4 ق)ل( 4 ق) و ) 4 أما ق) 4 ( ظا 5 الن ( 4 ع ) نقطة تما. و ل ه. عندما 4 متصل < 4-4 > 4 صفر ق ( ) لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 66

67 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال) ) **: ليكن ق) ) 5 جد مجاالت التناقص والتزايد ان وجدت ق ( ) متزايد على ح مثال) ) 1 : ** اذا كان < ق) ) - 1 اوجد القيم القصوى المحلية لالقتران ق) ) < ق) ) - > عندما متصل لكنه غير قابل لالشتقاق 4 ومنها 4 الحرجة { 4 } مثال )5(: الرم التالي يمثل المشتقة االولى لالقتران ق) ) اعتمادا عليه حدد. فترات التزايد والتناقص لالقتران ق. القيم القصوى لالقتران ق ( 4 ق) ) 4 ) صغرى محلية ( ق) ) ) عظمى محلية مثال )6(: اذا كان ق)( اقترانا متصال على مجموعة االعداد الحقيقية ح وكانت المشتقة االولى لالقتران ق) ) هي ق) ) 6 فجد. مجاالت التناقص والتزايد ان وجدت. النقط الحرجة لالقتران 4. 6 ( 6 ) 4 ومنها { 4 } 2. الحرجة لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 6

68 6 6 () 6 6 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات 4 ) مثال )9 اذا كان ق) ( / -[ ] اوجد. فترات التزايد والتناقص لالقتران ق. القيم القصوى المحلية والمطلقة منها. ق) ) 4 ومنها ( ومنها 4 مثال ) اذا كان فجد. الفترات التي يكون فيها االقتران متزايدا. القيمة العظمى المحلية لالقتران تمرين للطالب مثال ( :) + 5 اذا كان ق) ( اوجد. فترات التزايد والتناقص ان وجدت. نقط القيم العظمىالمحلية لالقتران ق) ) ق) ) 4 4 ) + ) 4 ومنها [ - ] متزايد [ ] متناقص. ق) - ) - /5 صغرى مطلقة ق ( ) / عظمى محلية مطلقة ق) ) صفر مثال ( 4 :) اذا كان اوجد. فترات التزايد والتناقص لالقتران. القيم القصوى المحلية لالقتران ق) ) تمرين للطالب يكمل الحل لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 6

69 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال )(: اذا كان ق) ) + جا [ - ] اوجد. فترات التناقص ان وجدت. نقط القيم القصوى المحلية لالقتران ق) ) ق) ) - + جتا -+ جتا 4 ومنها جتا ومنها 4 مثال ( 5 :) اذا كان ق) ) ( ) -[ ] اوجد. الفترات التي يكون فيها االقتران ق) ) متزايد. القيم القصوى المطلقة ق) ) ( ) )-( + ( ) ( ) - ( ) + ( ) 4 ( ) -( + ( )) 4 ( ) -( + ) 4 ومنها / / يكمل مثال )***(:. اذا كان أ + ب -6 < ق ( ) أ + ب متصل عند وكان ق) 6) جد ما يلي. قيمة كل من الثابتين أ ب القيم العظمى والصغرى المحلية لالقتران ق)( متناقص [ - ] ( - ق)- )) عظمى مطلقة ( ق) )) صغرى مطلقة مثال ( :) اذا كان ق) ( - اوجقط القيم القصوى المحلية لالقتران ق) ) تمرين للطالب مثال )***(: اذا كان )+ ( < 4 ق ( ) أ + وكانت نها ق)(موجودة جد ما يلي 4. قيمة أ. القيم العظمى والصغرى المطلقة لالقتران ق)( في الفترة [ - ] لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 69

70 () بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات.. مائل عملية على القيم القصوى هذا النوع من المائل يشبه في اهميته ائلة المعدالت المرتبطة بالزمن وحتى نميز بينه وبين المعدالت المرتبطة بالزمن نالحظ في كل ؤال اكبر من اصغر من اقل حجم اكبر ماحة لحل هذا النوع من المائل نتبع ما يلي افهم الؤال وارمه ان كان بحاجة لرم كون عالقة ويجب ان تكون هذه العالقة اقتران فيه مجهول واحد ويمكنك التخلص من باقي المجاهيل من خالل اشياء معلومة في الؤال. بعد ان تكون االقتران اشتق واجعل المشتقة صفر ثم اختبر الجواب الذي حصلت عليه اما باتخدام المشتقة االولى او المشتقة الثانية مثال 6( :) جد العددين اللذين مجموعهما 94 وحاصل ضرب أحداهما في مربع األخر اكبر ما يمكن نفرض ان العدد االول ص الثاني ومنها ص 94 + ص 94 ق) ) ص ق) ) )94 ( 94 ق ( ) 14 4 ) 14 4 ومنها ) 14 ومنها 4 64 ق ( ) 14 6 ق ( 4 ) 14 6 )4( + له قيمة صغرى ق ( 64 ) 14 )64(6 - له قيمة عظمى اكبر ما يمكن عندما 64 اذن ص 4 مثال ) يراد صنع صندوق مفتوح من االعلى من قطعة مربعة الشكل طول ضلعها م وذلك بقطع اربع مربعات متاوية من أطوال إضالعها األربعة ثم ثني األجزاء البارزة لألعلى اوجد اكبر حجم يمكن صنعه بهذه الطريقة م ح الطول العرض االرتفاع ح -( -() ) 1 + ح ( () ) 4 ومنها 6 ح عندما ح - له قيمة عظمى عندما 6 ح + له قيمة صغرى اذن يكون اكبر حجم عندما ح م مثال 1( :) اذا كان لديك لك طوله 14 م اوجد ماحة اكبر قطعة ارض متطيلة يمكن ياجها + ص 14 ومنها ص 4 م ص ص 4( ) 4 م - 4 ومنها -4 4 ومنها 4 م - له قيمة عظمى عند م م 4 لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 1

71 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 9 :) اوجد ماحة اكبر متطيل يمكن رمه فوق محور الينات بحيث يقع احد بعديه منطبقا على محور الينات ورأاه اآلخران على منحنى القطع ص م الطول العرض ( ( ص ) ) 6 م 4 ومنها ± 6 م - م ) ) - ( ) - له قيم عظمى م ) - ) - -( ) + له قيم صغرى ص م - 1 م مثال ( 54 :) اوجد ماحة اكبر متطيل يمكن رمه داخل دائرة نصف قطرها 4 م م ص لكن ( 4 ) ص+ 44 ص 44 م ( ) م م ± ومنها 4 ص اكمل الحل مثال )5(: يريد رجل اقامة ياج حول قطعة متطيلة الشكل تقع على ضفة نهر متقيم فاذا لم ييج طرف النهر اوجد ابعاد القطعة ليكون طول الياج اقل ما يمكن علما بان ماحته 144 م ص المحيط ح + ص لكن م ص ومنها ص 144 ح ح - ومنها 4± 644 ح عندما 4 ح + له قيمة صغرى عندما - 4 ح - له قيمة عظمى ومنها ح مثال )5(: نريد صنع صندوق بال غطاء قاعدته مربعة الشكل حجمه م اوجد ابعاد الصندوق لتكون كمية المادة المتخدمة اصغر ما يمكن ح ص ص المادة المتخدمة م الجانبية + م القاعدة ك ص + ك + لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 1

72 بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات 1 ك ك ومنها ك عندما تكون ك ك اقل ما يمكن --- مثال )5(: ما هو العدد الموجب الذي مجموعه مع مقلوبه اقل ما يمكن نفرض ان العدد ق) ) + ق) ) - 4 ومنها ± ق ) ) 4 ومنها ± ق ) ) + اقل ما يمكن ق ) - ) - اكبر ما يمكن مثال ( 5 :) عمودان ارتفاعهما 4 م 4 م والبعد بينهما 14 م جد النقطة على المتقيم الواصل بين قاعدتيهما بحيث يكون مجموع مربعي بعديهما عن قمتي العمودين اقل ما يمكن 4 4 ف +944+)14 ) ف 14(+ )-() ومنها 4 ف له قيمة صغرى أي يكون اقل ما يمكن عندما مثال )55(: يبيع مصنع لأللعاب من القطع من إنتاجه أبوعيا بعر القطعة الواحدة ( ) فلا إذا كانت كلفة إنتاج من القطع هي ( ( فلا ما عدد القطع التي يجب أن ينتجها المصنع ليحقق أعظم ربح الربح االيراد - التكلفة ر ) (- ) ( ومنها 544 ر 54 - ر - له قيمة عظمى اذن يحقق اعظم ربح عندما 544 اذن لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 2

73 ن ن ن ن بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات مثال ( 56 :) يتحرك جيم على خط متقيم فيقطع مافة مقدارها في زمن قدره ن حب العالقة ن ما أقصى ن 4 ن رعة يصل اليها الجم + ن ن 4 ن + 6 ن + ن + ع ن 4 ن + ن + ع ن 64 ن + بالقمة على ن ن ومنها ن) ()ن ) 4 ومنها ن ع ن - 5 ع ( ) ( ) صغرى ع ( ) ( ) عظمى أقصى رعة يصل اليها الجم عندما ن ع )( )( 4 )( + +)( مثال ( 5 :) يتحرك جيم على خط متقيم فيقطع مافة مقدارها في زمن قدره ن حب العالقة ن + + ن - ما اقل تارع يصل اليها الجم الحل: ن + + ن - ع ن + ن 6 ن مثال )51(: جد اكبر ماحة ممكنة لمتطيل أ ب ج د إذا علمت أن أ هي نقطة األصل وتقع ب على محور الينات وتقع ج على المتقيم ص وتقع د على محور الصادات ج د م ص ص ) ( أ ب م ومنها / م - م )/( - )/( - عظمى اكبر ما يمكن عندما / م /)-(/ مثال )59(: شخص في غابة يبعد 5 أميال عن طريق متقيم معبد و ميل عن بيت يقع على الطريق إذا كان باتطاعة هذا الشخص أن يير ميل / اعة في الغابة وبرعة 5 ميل / اعة على الطريق جد اقصر وقت يحتاجه الشخص للوصول الى البيت علما بأنه يير في الغابة بخط متقيم افرض ان الشخص ينزل عند د والتي تبعد عن ب المافة في الغابة ج د + 5 أ المافة ميل الزمن د الرعة + 5 ن ج 5 ميل ب المافة على االرض أ د ن 5 الزمن الكلي ن ن+ (5/ + ن 5 + ك / ) - ت ع 6 ن ن + ت ن ن 4 ومنها ن 6/ ت ت ( 6/ ) + اقل ما يمكن ت ( 6/ ) 6 )6/( )6/( + لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات

74 ع م) بم هللا الرحمن الرحيم األتاذ ناصر ذينات ن ك 4 ومنها نشتق مشتقة ثانية ونعوض قيمة تكون + اذن عند.5 تكون اصغر ما يمكن ومنها أ ب مثال ( 64 :) كرة نصف قطرها نق حيث نق ثابت جد بداللة نق كال من نصف قطر قاعدة وارتفاع االطوانة الدائرية القائمة ذات اكبر حجم التي يمكن رمها داخل هذه الكرة ح ع ح االطوانه م القاعدة االرتفاع ع ر ) ع )نق - / )نق ع- / ع ) ع / نق ) 4 ع )نق - / / ع ح /6- ع نق ارتفاع االطوانة ح /6- ( / نق ) - اليجاق القاعدة نق ر / / نق اذن ومنها ر ر له اكبر حجم عند مثال ( 6 اراد احد االندية تصميم راية له متطيلة الشكل صفراء اللون وبداخلها مثلث احمر اللون بحيث يكون ب ه ج و كما في الشكل جد اقل ماحة ممكنة للمثلث أ ه و أ ب ج د م و ه أ م /( ه ج و + - )64 م ب ه أ + م ) + / و د أ ) ( 64 / (( - م +144 / 4-44 م 4 4 ومنها 4 م + اصغر ما يمكن م مثال )6(: 4 يراد صنع وعاء اطواني الشكل قاعدته دائرية ومفتوحة من األعلى لتكون عته م 5 فإذا كانت تكاليف صنع م من الجوانب قرشين ومن القاعدة قروش 4 اوجد أبعاد هذا الوعاء لتكون تكلفة صناعته اقل ما يمكن / نق لالتفار ت )411( لمزيد من االئلة المقترحة على كل وحدة ومتابعة كل ما هو جديد تابعونا على صفحة االتاذ ناصر الذينات 4